Re: Sfera di Bloch e Matrici di Pauli

From: Andrea Barontini <baro77_at_gmail.com>
Date: Thu, 22 Oct 2020 16:24:17 +0200

Il 20/10/20 14:35, Elio Fabri ha scritto:
> Mi ci vorrà un bel po' per mettere insieme il tuo post con quello che
> già avevo in mente di dire...

aspetto con smania ma senza pretese :)


> Per ora posso sbrigare un questione marginale, ossia l'origine del
> nome "spazio proiettivo".
>
> Si tratta di una questione di storia della matematica, che attraversa
> diversi secoli e non ha niente a che vedere né con la fisica né col
> nostro tema.
> Mi va di parlarne perché quand'ero studente lo trovai un argomento
> appassionante..-.
> Magari invece a te non interessa affatto, e puoi saltarlo senza danno.
>

hai fatto bene a scrivere questo post... la mia risposta precedente
liquidava un po' sbrigativamente il tema perche' mi rendevo conto che
poteva essere una digressione che ci avrebbe allontanato dal tema
originale, e quindi non osavo chiedere anche di quello.
Pero' mi avevi incuriosito e quindi anche se non approfondiro' a stretto
giro (per mere questione di priorita' che giocoforza devo assegnare a
svariati miei interessi piu' o meno ortogonali tra loro, e che
richiedono tutti un po' di dedizione e quindi di tempo) mi fa piacere
avere delle imbeccate sull'argomento da cui in futuro potro' partire per
approfondire.


> La storia comincia nel '400, coi pittori del primo Rinascimento
> italiano.
> [...]
> Ma che cosa ha a che fare questo con la g.p.?
> E' stata algebrizzata anch'essa? Risposta affermativa.
> La chiave è stata l'invenzione delle "cordinate omogenee".
> [...]
> Abbiamo quindi *ampliato* il piano euclideo, e si può intuire che
> l'ampliamente consiste proprio nell'aggiunta dei punti impropri.
> Quindi le terne (xi,eta,zeta) *a meno di un fattore moltiplicativo*,
> rappresentano il piano proiettivo.
>
> "A meno di" sta a significare un quoziente: il piano proiettivo è R^3/R'
> dove R' = R\{0}.
> E siamo arrivati: in generale, se V è uno spazio vettoriale su un
> campo K, il corrispondente spazio proiettivo è V/K'.
> Nel nostro caso (sistema quantistico a due stati), lo spazio degli
> stati è C^2/C'.
> (Dove al solito con C' indico C\{0}.)
> Si dà il caso che questo quoziente sia omeomorfo a una sfera S^2: la
> sfera di Bloch.
>

Ed ecco perche' scrivevi "Dire che gli stati sono in corrisp. coi raggi
di H equivale a dire che lo spazio degli stati è uno spazio proiettivo
complesso, con una dim. in meno di H. " :)
Credo tu possa intuire che questa cosa che la realta' -allo stato
dell'arte di come sappiamo descriverla (m.q.)- si presenti con la
struttura di una proiezione...beh mi suscita fantasie ontologiche
sconclusionate e poco ortodosse...
Ti chiedo solo una cosa: ma tutta questa cosa dello spazio degli stati
come spazio proiettivo complesso vale anche per la meccanica quantistica
relativistica (che non conosco minimamente, e quindi la domanda potrebbe
essere anche mal posta e non essere rispondibile, in caso sorry)?


> Ma non è finita. Al posto delle coord. cartesiane omogenee si possono
> introdurre le più generali "coordinate proiettive", di cui le prime
> sono un caso particolare.
> Non posso darti dettagli (se no, alle solite, scrivo un libro :-) ) e
> mi limito a dire, senza dimostrazione, che se introduci coord.
> proiettive nei due piani pi e pi', la proiezione di cui ho parlato
> all'inizio si rappresenta con una semplice *trasf. lineare* delle
> coordinate.
>
> Come esempio dell'utilità delle coord. proiettive, in queste cord. una
> conica ha come equazione P(xi,eta,zeta) = 0, dove P è un polinomio
> *omogeneo* di secondo grado: una *forma quadratica*.
> Così ci si può servire di tutto l'amamentario di cui si dispone per le
> forme quadratiche.

questo tema delle coordinate proiettive mi appassiona di meno, almeno a
bruciapelo, perche' non intravvedo l'eventuale significato profondo che
ci sta dietro... ma lo metto da parte per il futuro, sono sicuro che
risaltera' fuori quando meno me l'aspetto


> Diventa immediato dimostrare ciò che avevo asserito: che la proprietà
> di essere una conica è invariante per proiezioni.
> Infatti una forma quadratica rimane tale se si opera un trasf. lineare
> sulle variabili.
>
> Le cose da dire sarebbero ancora moltissime, ma qui mi fermo.
> Concludendo quindi che quando senti parlare di spazio proiettivo devi
> pensare a Piero della Francesca, a Leon Battista Alberti, ma anche a
> Leonardo (L'ultima cena) o a Raffaello (La scuola di Atene).

Ora pero' vado a ripassarmi il mio post precedente a questo tuo,
altrimenti quando mi rispondi non sono piu' sul pezzo neanche rispetto a
quello che dicevo io :)

Ciao
Andrea
Received on Thu Oct 22 2020 - 16:24:17 CEST