"Patrizio" <patrizio.pan-2002_at_libero.it> wrote in message
news:151Z27Z183Z33Y1065133401X21023_at_usenet.libero.it...
> Qui forse nn ci siamo capiti. Leggevo che nel caso di tale fen.
> per l'onda quadra, l'ampiezza di oscillazione nei punti di disc.,
> tolta l'ampiezza dell'onda q. cui si riferisce lo sviluppo,
> *non tende a 0* anche per n che tende a inf. e la diff. tende a un
> val finito, che in percentuale e' > di 0,8% dell'ampiezza dell'on-
> da quadra. Forse sono io che mi esprimo male, comunque direi che
> prima di proseguire dovremmo chiarirci su qst punto.
Si. Allora, io parlavo in termini pratici, da fisico non da matematico. E'
vero che rigorosamente parlando, non si ha convergenza puntuale. Quindi, se
ad esempio prendi un'onda quadra, avrai sempre delle oscillazioni a
frequenza crescente (si schiacciano sempre di piu' verso il punto di
discontinuita') e dei punti in cui S_n e' diversa dalla tua funzione anche
nel limite n->oo. Se pero' pensi alla propagazione di questa differenza
(come mi sembrava di aver capito) ad esempio integrando una funzione
discontinua o integrando il suo sviluppo di Fourier, queste nel limite n->oo
coincidono. Non so darti la dimostrazione matematica (che comunque esiste),
ma posso farti un esempio banale.
Sia f(x) = onda quadra e S_k(x) = sviluppo dell'onda quadra troncato a k
termini.
Vogliamo valutare \int_0^\infty f(x) \exp(-x) e confrontarlo con
\int_0^\infty S_k(x) \exp(-x), in particolare nel limite k->\infty.
Beh, non sto nemmeno a sviluppare troppo i calcoli...se integri
l'esponenziale direttamente hai
\int_0^1 \exp(-x) - \int_1^2 \exp(-x) +...ecc.
che ti da \int_0^1 exp(-x) moltiplicato per \sum exp(-n) (-1)^n (basta
cambiare variabile a tutti gli integrali) che come risultato da
e/(e+1) (e-1)/e = (e-1)/(e+1)
Se integri lo sviluppo di Fourier con l'esponenziale hai
4/\pi \sum_{n=0}^k 1/(2n+1) \int_0^\infty \sin[(2n+1) \pi x] \exp(-x) =
4 \sum_{n=0}^k 1/[\pi^2 (2n+1)^2]
che nel limite k->\infty fa ancora (e-1)/(e+1). Se non fai il limite, hai
una certa differenza, che cmq tende a zero al crescere di n, nonostante f(x)
e S_k(x) differiscano in un certo qual senso. Quindi, in questo caso non hai
propagato nessun errore derivante da Gibbs.
Bye
Hyper
Received on Mon Oct 06 2003 - 19:22:31 CEST