Bruno Cocciaro wrote:
...
>
> Ai miei studenti, quando presento la legge oraria del moto armonico (in
> terza liceo), la metto proprio nei termini riportati sopra, pero' mi sembra
> un po' un tucchetto, trucchetto di cui faccio uso per evitare di raccontare
> (complicandola) tutta la storia nella maniera in cui l'ho raccontata in
> precedente post.
> Il motivo per il quale mi sembra un truccheto e' il seguente:
> se dicessi che i metri sono "un nome per un numero adimensionale che ricorda
> quale dei possibili modi di misurare una lunghezza sia stato selezionato"
...
Non sono d' accordo. E non sono neanche d' accordo con la dicotomia di
Elio Fabri. Tuttavia, pensando un po' meglio al problema capisco la
radice dell' obiezione ma mi sembra che ci sia una soluzione pulita.
Nel seguito provo a postare le mie riflessioni a riguardo. Critiche e
commenti benvenuti.
Una lunghezza in metri NON e' adimensionale. Cosa significa che un'
unita' di misura per una certa grandezza ha "dimensioni"? Solo che e'
omogenea (confrontabile) con unita' che hanno le stesse "dimensioni". La
fisica mi permette cioe' di creare delle classi di equivalenza di
proprieta' direttamente confrontabili. Un metro e' confrontabile con un
pollice (sistema anglosassone) perche' posso esprimere il "cambio
ufficiale tra i due. Un eV NON ha le stesse dimensioni di un metro
perche' non posso stabilire una procedura fisica che mi permetta di
trovare un "cambio ufficiale" tra eV e metri. In principio ci sarebbero
tante "dimensioni" quante proprieta' fisiche ma la successiva
elaborazione dei concetti ci mostra che si possono stabilire delle
relazioni che ci permettono di ridurre le "dimensioni" indipendenti a poche.
In questo processo di riduzione si stabilisce un "algebra" delle
dimensioni che permette di esprimerne alcune come prodotti o rapporti di
altre. Ovvero si da' un significato al prodotto (o rapporto) di unita'
di misura dimensionate.
Es: [lunghezza] = [tempo] * [velocita']
Esistono poi quantita' adimensionali che sono i rapporti di quantita'
con le stesse dimensioni. Queste divengono indipendenti dalle unita' di
misura utilizzate.
Piccola parentesi. Perche' le funzioni non omogenee (in senso
matematico) devono avere argomenti adimensionali ? Per il semplice
motivo che se non sono omogenee le dimensioni della funzione sono non
definite:
se faccio l' esponenziale di x dove x ha le dimensioni [X]
exp(x) = 1 + x + (x**2)/2 + (x**3)/3! + ...
sarebbe la somma di oggetti con dimensioni diverse (e in generale non
confrontabili) e non ci sarebbe un modo ragionevole di associare un'
unica classe di equivalenza al risultato (dimensione).
/fine parentesi
Qual e' il ruolo dei radianti?
Partiamo da cosa misurano: gli angoli. Definizione di angolo: (prendo da
Hilbert: Fondamenti della geometria ) una coppia di semirete con origine
comune (ci sono alcuni peletti da sistemare ma e' un buon punto di
partenza).
Nel concetto di angolo non c'e' una connessione diretta alle lunghezze.
E naturalmente un angolo non e' omogeneo ad una lunghezza ( non si
sommano angoli e segmenti...).
Posso misurare un angolo con un' unita' di misura corrispondente a
dividere un angolo particolare (il giro) in N parti uguali e arrivo ai
gradi. Oppure posso usare il rapporto di due qualsiasi lunghezze
opportune ottenute da curve basate sulle due semirette per ottenere
tante misure diverse degli angoli.
Una di queste ricette e' quella dei radianti: traccio un cerchio con
centro l' origine delle 2 semirette e misuro l' arco di cerchio
individuato dall' intersezione tra cerchio e semirette e divido questa
lunghezza per il raggio. Ho il radiante (naturalmente in tutto questo mi
aiuta scoprire che il rapporto non dipenda dalla lunghezza del raggio).
Potrei anche usare convenzioni diverse: p.es. potrei misurare un angolo
prendendo due punti sulle due semirette a distanze in rapporto dato e
congiungere i punti con una curva data diversa da un cerchio. Oppure
potrei usare le due lunghezze usate pre i radianti ma calcolare il
rapporto delle quarte potenze...
Queste procedure mi darebbero altre unita' di misura degli angoli
diverse dai radianti ma analoche in quanto numeri ottenuti dal rapporto
di lunghezze e quindi adimensionali.
A qusto punto torniamo all' algebra delle quantita' dimensionate. Che
ruolo giocano grandezze come i radianti che non hanno dimensione ?
Quello di unita' neutre della moltiplicazione tra grandezze:
[lunghezza] * []^0 = [lunghezza] ( o qualsiasi altra cosa al posto di
lunghezza).
Riassunto di tutto il discorso: quantita' espresse da unita' di misura
adimensionali possono essere trattate tranquillamente come numeri puri.
La "dimensione" radiante serve solo da promemoria del modo con cui ho
misurato gli angoli ma nell' algebra delle dimensioni non interviene.
Spero che l' ora tarda non mi bbia giocato qualche scherzo e di non aver
preso abbagli.
Giorgio
Received on Wed Oct 08 2003 - 00:30:42 CEST
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