Re: risoluzione equazioni di maxwell

From: Tetis <ljetog_at_yahoo.it>
Date: Thu, 10 Mar 2011 08:47:29 -0800 (PST)

On 10 Mar, 09:58, BlueRay <blupant..._at_alice.it> wrote:
> On 9 Mar, 21:27, Elio Fabri <elio.fa..._at_tiscali.it> wrote:
>
> > Quanto al tuo problema originario, che era, se ricordo bene, come
> > calcolare correttamente la divergenza di una densita' di corrente
> > definita da j(r) = r/|r|^3, e in particolare come trovare l'attesa
> > delta nell'origine, puo' servire di vedere il caso in cui la carica
> > non e' puntiforme, ma per es. e' distribuita uniformemente in una
> > sferetta di raggio a.
> > Il calcolo si fa esattamente senza singolarita', e poi si puo' vedere
> > che cosa succede facendo a --> 0.
>
> Scusa, ma se il problema e' quello che dici (non ho letto tutti i post
> di Sam_X perche' mi si "infrenano" gli occhi :-) ) allora dovrebbe
> essere semplice:
>
> r/|r|^3 = -nabla(1/r) e div[nabla(1/r)] = nabla^2(1/r) >
> = -4(pi)delta(\vec{r})

Che per� � quello che Sam_X vuole dimostrare. Un modo � sostituire la
funzione 1/r con la funzione regolare V_e(r)=1/(r^2+e^2) e condurre il
limite per eps che tende a zero di:

4 \pi r (r V_e(r))'' f(r) dr

con f nello spazio delle funzioni test. Questo integrale si calcola,
per un dato valore di e, integrando due volte per parti alla prima
integrazione il termine da valutare negli estremi � 4 \pi r (r V_e
(r))' f(r) che in zero � nullo perch� la derivata di r V_e(r) vale e^2/
(r^2+e^2)^(3/2) ovvero in zero rimane limitata mentre il fattore 4pi r
f(r) tende a zero (perch� anche la funzione test � limitata in zero),
mentre ad infinito tende a zero perch� r(rV_e(r))' � asintoticamente
equivalente ad 1/r^2. Integrando una seconda volta si ottiene fuori
dall'integrale - 4 \pi r V_e(r) (r f)' , dove r V_e(r) tende a zero
mentre ( r f )' = f + r f ' rimane limitata. Del resto sotto
l'integrale rimane 4 \pi r V_e(r) (r f(r))'' dr. Poich� le funzioni
test sono a decrescenza rapida � ora ammesso il passaggio al limite
sotto il segno di integrale che lascia la funzione integranda 4 \pi (r
f(r))''. L'integrale di questa funzione � definito e la primitiva si
annulla ad infinito, mentre vale 4 pi (r f(r))' in zero. Derivando
trovi 4 \pi [f(r) + r f '] che in r = 0 vale 4 \pi f(r).


Una regolarizzazione molto pi� semplice (equivalente al suggerimento
del prof. Fabri) consiste nel riderifinire a tratti la funzione
lasciandola tal quale fuori di un certo raggio "e" e sostituendola con
un arco di parabola all'interno V_e(r) = 3e/2 - r^2/(2e^3). In questo
modo esternamente alla sferetta il laplaciano � zero, mentre
internamente si riduce a 3/e^3. L'integrale con la funzione test di
( \nabla^2 V )f si riduce quindi a -4\pi 3r^2 f(r)/e^3 e con la
sostituzione y = er questo integrale si riduce a

-4\pi Int_0^1 3y^2 f(ey) dy

passando al limite e --> 0 rimane:

-4 \pi f(0) Int_0^1 3y^2 dy = -4 \pi f(0).

Q.E.D.



> quindi il risultato sarebbe 4(pi)delta(\vec{r}).
>
> --
> BluRay = cometa_luminosa
Received on Thu Mar 10 2011 - 17:47:29 CET