Moti "non naturali" in un sistema meccanico vibrante

From: pcf ansiagorod <eelon.isthebestELIMINAMI_at_libero.it>
Date: Sun, 24 Jan 2021 19:03:09 +0100

Ciao Forum

Sono stato assalito da uno sgradevole dilemma e chiedo a voi
lumi. Ho partecipato, con mio infinito pentimento, a una
discussione sul perchè la legge del moto di una corda vibrante
è tale che vengano emessi solo armonici multipli della
fondamentale. La discussione si è prolungata per un pò e mi è
stato chiaro che la domanda implicita attorno cui alcuni
partecipanti giravano era: perchè per esempio data f la
fondamentale la corda non vibra con frequenza (17/13)f?

Mi vergogno parecchio, alquanto, non poco, assai della risposta
che ho dato e che almeno ho provveduto rapidamente a
cancellare; in sostanza ho chiamato in causa il principio di
minima azione sostenendo che occorrerebbe spendere energia per
far emettere alla corda armoniche di frequenza diversa dai non
multipli della fondamentale.

Naturalmente dopo aver detto la stupidaggine ho pensato che
quanto sopra non è fisicamente realizzabile senza tirare il
collo al contesto per una questione di condizioni al contorno,
e ho cercato un controesempio per me stesso; l'unico che mi sia
potuto venire in mente è una configurazione in cui il modo di
vibrazione 'anomalo' venga raccordato a una piccola distanza da
uno degli estremi in modo che il vincolo sia rispettato (quello
all'altro estremo è banale si può liberamente imporre).

Per chiarire meno peggio possibile, detta L la lunghezza
pensavo a una funzione del tipo u = sin ((pi/2L)x) per
0<=x<(L-eps) e u = w(x) per (L-eps) <= x <= L e tale che w(L)=0
più ovviamente u(L-eps)=w(L-eps), sicuramente
u'(L-eps)=w'(L-eps). La funzione non è la scelta migliore
perché corrisponde a una subarmonica ma spero di aver
illustrato cosa avessi in mente: in generale, qualsiasi
funzione sinusoidale che assumerebbe valore non nullo a piccola
distanza da uno degli estremi, e opportunamente raccordata per
rispettare il vincolo di estremità.

Le mie domande sono:

1) Con spostamenti imposti e differenti da una delle
autofunzioni, cosa accadrebbe all'ascolto? Ho semplicemente
nascosto la polvere sotto il tappeto e anche lo sviluppo in
serie mostrerebbe che il sistema acusticamente si comporterà
come una normale corda lasciata libera? Oppure il mio
controesempio funzionerebbe in pratica, ovvero potrei fare
emettere un suono percepito non corrispondente alla geometria
della corda libera (inteso come lunghezza, densità lineare,
modulo elastico, etc.)?

2) Ho paura che il principio di minima azione non sia
l'inquadramento più pertinente per esaminare il problema. Che
debba valere è pacifico ma è molto probabile che l'argomento si
possa esporre in modo più limpido. Come si potrebbe fare?

3) Supponiamo di imprimere la legge di spostamento 'forzosa' e
poi lasciare il sistema a sè stesso. So cosa accadrebbe
risolvendo l'equazione del moto, la configurazione a
quell'istante come condizione iniziale e poi una somma di
soluzioni sinusoidali. Ma l'ipotetico musicista che volesse
capire meglio potrebbe domandarmi: ma perchè a quel punto
l'altezza del suono che percepisco cambia e torna quella della
corda libera? Perché lo sviluppo in serie di Fourier sembra
'incastrato' nella fisica della corda? Perchè non potrebbe
esistere un altra base di funzioni compatibili con i vincoli? E
se ci fosse quale sarebbe il risultato all'ascolto? Certo
potrei ribattere che le funzioni base in seno e coseno sono
quelle più semplici per la soluzione dell'equazione e che posso
sempre passare da una base all'altra senza cambiare il suono
percepito, è solo una descrizione formale; ma onestamente mi
sento mancare il terreno sotto i piedi, forse perché non è solo
fisica ma anche una questione di percezione sensoriale. Però
certo non posso sostenere che l'orecchio e il SNC si sono
'evoluti in seni e coseni'.......

Vedo che la 1) e 3) sono domande confuse, e difatti come mi
accade sempre quando non ho la visione chiara di qualcosa non
so nemmeno cosa vorrei sapere :) Ho sempre pensato che fare una
domanda giusta presupponga aver capito un argomento almeno a
3/4. Quindi sì, prima che lo dica qualcuno, lo so benissimo che
meglio non potrei: non ho capito niente della fisica. Inoltre
non capisco perchè per anni le cose sembrano certezze assolute
poi a un certo punto si dissolvono completamente, come se si
precipitasse nelle sabbie mobili :(

Scusate le tante imprecisioni in un post chilometrico...... Ma
stamattina sono rimasto un pò male per la stupidità della mia
risposta :(

Con l'occasione buon anno a tutti voi :)
Received on Sun Jan 24 2021 - 19:03:09 CET