Re: meccanica hamiltoniana: caos senza separatrici ?

From: Elio Fabri <elio.fabri_at_fastwebnet.it>
Date: Thu, 11 Feb 2021 15:30:15 +0100

Alan Ford ha scritto:
> Fornisco qualche altro dettaglio: l'hamiltoniano in questione è
> relativo ad una particella carica che si muove in un campo magnetico
> statico funzione delle coordinate (x,y).
> Quindi H = px^2/2 + (py-Ay(x,y))^2/2 + (pz-Az(x,y))^2/2
> Uso unità in cui carica = massa = 1. Siccome H non dipende da z, pz
> è una costante del moto.
> Il potenziale vettore (0,Ay,Az) è costruito "a ritroso" a partire da
> un campo magnetico B del quale ho una espressione analitica, ma
> molto complicata. In ogni caso il procedimento di inversione B --> A
> richiede la soluzione di equazioni differenziali, che è puramente
> numerica.
Ma scusa, se ti sei messo a risolvere numericamente le eq. di
Hamilton, in quelle compare B, non A.
Perché hai fatto quel lungo giro?
Inoltre: come mai Ax = 0 e non div A = 0 ?

> Per quanto riguarda la seconda domanda, divido la risposta in due
> pezzi: il campo magnetico (solo quello, senza la particella) può
> essere scritto in una formulazione hamiltoniana, ed è integrabile.
> Quindi, una particella che seguisse esattamente le linee di campo
> magnetico avrebbe una dinamica regolare.
Questo mi riesce oscuro.
Ma sospetto che tu conosca qualche pezzo della fisica che io ignoro
totalmente. (Magnetofluidodinamica?)

> La domanda che mi ponevo è se la stessa cosa è vera per una
> particella generica (in altre parole, con un raggio di Larmor
> finito).
> Dal momento che ho una costante del moto (l'energia), per
> assicurarmi che il moto sia integrabile basta trovarne una seconda.
Di costanti del moto ne hai due: c'è anche pz.
Ma per avere un sistema integrabile ce ne vogliono tre con parentesi
di Poisson tutte nulle.

> Normalmente si assume che, se il raggio di Larmor della particella è
> piccolo rispetto alle scale spaziali caratteristiche di variazione
> di B, questa seconda costante del moto esista, ma sia non un
> invariante esatto ma solo adiabatico: il momento magnetico.
Confermo il mio sospetto di cui sopra :-)

> Questo, come scrivevo - insieme agli altri test - suggerisce che il
> moto della particella non sia affatto regolare, ma caotico.
> Tuttavia, dal basso della mia scarsa conoscenza, ritenevo che questo
> fatto dovrebbe essere riflesso nella struttura di H: da qualche
> parte, nello spazio della fasi, dovrebbe esistere almeno un punto
> iperbolico. E invece non ne trovo alcuna traccia.
Parrebbe anche a me.
Ma non ci sarà qualche errore a monte?
                             

-- 
Elio Fabri
Received on Thu Feb 11 2021 - 15:30:15 CET

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