Re: meccanica hamiltoniana: caos senza separatrici ?

From: Alan Ford <fabio.sattin_at_igi.cnr.it>
Date: Thu, 11 Feb 2021 06:59:00 -0800 (PST)

Il giorno giovedì 11 febbraio 2021 alle 15:36:02 UTC+1 Elio Fabri ha scritto:
> Alan Ford ha scritto:
> > Fornisco qualche altro dettaglio: l'hamiltoniano in questione è
> > relativo ad una particella carica che si muove in un campo magnetico
> > statico funzione delle coordinate (x,y).
> > Quindi H = px^2/2 + (py-Ay(x,y))^2/2 + (pz-Az(x,y))^2/2
> > Uso unità in cui carica = massa = 1. Siccome H non dipende da z, pz
> > è una costante del moto.
> > Il potenziale vettore (0,Ay,Az) è costruito "a ritroso" a partire da
> > un campo magnetico B del quale ho una espressione analitica, ma
> > molto complicata. In ogni caso il procedimento di inversione B --> A
> > richiede la soluzione di equazioni differenziali, che è puramente
> > numerica.
> Ma scusa, se ti sei messo a risolvere numericamente le eq. di
> Hamilton, in quelle compare B, non A.


No. L' Hamiltoniana l'ho scritta prima e la riporto qui sotto.
H = px^2/2 + (py-Ay(x,y))^2/2 + (pz-Az(x,y))^2/2


In essa compare il potenziale vettore, non il campo magnetico . Posso rimandare ad un testo come il classico Jackson per la spiegazione, ma si trova facilmente in rete in molti siti.
Ovviamente, le equazioni del moto generate da H, x_dot, px_dot ecc ... contengono a loro volta A, non B



> Inoltre: come mai Ax = 0 e non div A = 0 ?


Numericamente: partendo dalla forma del campo magnetico si arriva naturalmente a questa forma. Fisicamente: le correnti che producono il campo sono dirette lungo l'asse y e z.


> > Per quanto riguarda la seconda domanda, divido la risposta in due
> > pezzi: il campo magnetico (solo quello, senza la particella) può
> > essere scritto in una formulazione hamiltoniana, ed è integrabile.
> > Quindi, una particella che seguisse esattamente le linee di campo
> > magnetico avrebbe una dinamica regolare.
> Questo mi riesce oscuro.
> Ma sospetto che tu conosca qualche pezzo della fisica che io ignoro
> totalmente. (Magnetofluidodinamica?)

Un po'. Comunque il pezzo sopra era una digressione per rispondere alla tua domanda riguardante l'integrabilità e i tori KAM.
In breve: il campo magnetico è un sistema hamiltoniano integrabile. Il campo magnetico + particella, boh.
Non è importante per il problema in questione.

> > La domanda che mi ponevo è se la stessa cosa è vera per una
> > particella generica (in altre parole, con un raggio di Larmor
> > finito).
> > Dal momento che ho una costante del moto (l'energia), per
> > assicurarmi che il moto sia integrabile basta trovarne una seconda.
> Di costanti del moto ne hai due: c'è anche pz.

Sì, certo. Avevo implicitamente ridotto il sistema a bidimensionale. Ad essere precisi, è tridimensionale con 2 costanti del moto

> Ma per avere un sistema integrabile ce ne vogliono tre con parentesi
> di Poisson tutte nulle.

Infatti.

> > Normalmente si assume che, se il raggio di Larmor della particella è
> > piccolo rispetto alle scale spaziali caratteristiche di variazione
> > di B, questa seconda costante del moto esista, ma sia non un
> > invariante esatto ma solo adiabatico: il momento magnetico.
> Confermo il mio sospetto di cui sopra :-)


Mi spiace per l'oscurità del passaggio. Ma ci vuole un po' di matematica per dimostrare quanto sopra, e io non mi sento in grado di fornirla qui.

Se può essere utile: il momento magnetico è l'azione associata al moto di rotazione della particella attorno alla linea di campo magnetico.

Il sunto è: in base alla teoria dei libri di testo (di fisica del plasma, visto che chiedi del mio background), dovrebbero esistere 2 invarianti esatti, e 1 adiabatico: quanto basta per rendere regolare il moto della particella.


>
> > Questo, come scrivevo - insieme agli altri test - suggerisce che il
> > moto della particella non sia affatto regolare, ma caotico.
> > Tuttavia, dal basso della mia scarsa conoscenza, ritenevo che questo
> > fatto dovrebbe essere riflesso nella struttura di H: da qualche
> > parte, nello spazio della fasi, dovrebbe esistere almeno un punto
> > iperbolico. E invece non ne trovo alcuna traccia.
> Parrebbe anche a me.
> Ma non ci sarà qualche errore a monte?
>

Forse no. Come capita talvolta, le soluzioni si trovano quando uno, disperato, smette di cercarle e chiede aiuto, e forse è successo stavolta.
Se giungo ad un risultato, lo posterò qui, come doveroso riconoscimento dell'attenzione ricevuta.
Received on Thu Feb 11 2021 - 15:59:00 CET