alessandro volturno ha scritto:
> questo fenomeno penso che sia ascrivibile all'aggettivo *isotropico*
> del moto di cui parla il libro, cioè al fatto che si considerano le
> tre costanti di forza di richiamo della stessa grandezza. O mi
> sbaglio?
Secondo me qui l'aggettico in uso è "isotropo", ma la cosa è
secondaria.
Hai ragione solo in parte.
Sicuramente serve l'isotropia per avere la stessa frequenza per le tre
componenti.
Però ciascun osc. armonico unidimensionale è isocrono, nel senso che
la frequenza non dipende dall'ampiezza.
Questo va tenuto presente perché di regola non è vero. Pensa ad es. al
pendolo, dove per avere isocronismo (approssimato) ci si deve limitare
alle piccole oscillazioni.
> spero di aver spiegato un po' meglio le mie idee (confuse) in questa
> risposta sennò correggimi pure, magari iniziando una risposta senza
> quotare le frasi già scritte che sono diventate tante.
Le costanti del moto di un osc. arm. isotropo sono tante e non ti sto
a fare il discorso generale.
Però è facile capire in primo luogo che sono costanti le energie dei
tre oscillatori x, y, e z separatamente (l'energia totle è la somma).
Poi sono costanti del moto le tre componenti del momento angolare, e
anche questo lo puoi ricavare facilmente se sai che per es. la
componente z è
L_z = m(x v_y - y v_x).
Sai che la legge oraria per la x è
x(t) = a_x cos(wt) + b_x sin(wt)
con w = sqrt(k/m).
A questo punto credo che le tue capacità matematiche bastino :-)
Troverai un'espressione per L_z dove il tempo non compare.
E' ovvio che la stessa cosa succederà anche per L_x e L_y.
> Giusto una domanda: fissare l'energia totale non è di per sé
> sufficiente a caratterizzare il moto? cioè non stabilisce essa già
> il modulo del momento angolare?
Ci vuol altro...
Non sto a farti il conto, ma puoi arrivarci da solo.
Comunque: l'energia totale è semplicemente
k(a^2 + b^2)/2
dove a e b sono i semiassi dell'ellisse risultante.
Invece il modulo del mom. angolare è
|L| = m*w*a*b.
E' chiaro che fissato a^2+b^2 il prodotto ab può variare da 0 a un
massimo, che si ottiene quando a=b (circonferenza).
Quindi ci sono infinite ellissi, che vanno da un segmento a una
circonf., che hanno la stessa energia ma diverso mom. amgolare.
Si può anche fare un ragionamento generale che mostra come i parametri
necessari per fissare forma e dimensioni della traiettoria (ellisse)
nonché la sua posizione nello spazio, siano addirittura 5.
Anzi facciamo *due* ragionamenti :-)
Il primo è puramente geometrico.
Dimensioni e forma dell'ellisse richiedono i due semiassi: due
parametri.
Il piano in cui giace è determinato da altri due parametri (due
angoli).
Un altro angolo serve per orientare l'ellisse nel piano.
Totale 5.
Secondo ragionamento.
Il moto del punto è determinato in modo univoco assegnando le
condizioni iniziali: le tre coordinate e le tre componenti della
velocità.
Cambiando anche uno di questi dati la traiettoria cambia...
No, non è esatto.
Immagina di far partire il tuo punto all'istate t=0 dalla posizione
(x0,y0,z0) con velocità (v_x0, v_y0, v_z0).
Percorrerà una certa ellisse.
Poi fai partire un secondo punto, dalla stessa posizione e con la
stessa velocità (vettore) ma a un tempo t=t1>0.
Credo evidente che il cambiamento dell'istante di partenza non cambia
la traiettoria: il secondo punto rincorrerà il primo sulla stessa
curva, arrivando in ogni posizione con un ritardo t1.
Da qui si vede che i 6 dati iniziali dicono di più di quello che si
cercava: non solo dicono quale sarà la traiettoria, ma anche a che
tempo (con che fase) verrà percorsa.
Quindi per avere solo la traiettoria i dati necessari sono 5, cme già
avevamo visto per via diretta.
> In sostanza per riassumere la particella descriverebbe una
> traiettoria chiusa, ellittica, su un piano fisso, sia che la studi
> in coordinate polari sferiche sia Cartesiane.
Beh questo lo potevi capire a priori, come ti ha già fatto notare
Giorgio.
La scelta delle coordinate è tua, libera, ma non può acambiare le
caratteristiche, né geometriche né cinematiche, del moto.
> Per la cronaca il libro che ho ri-iniziato a leggere è
> Introduction to Quantum Mechanics with application to chemistry
>
> L. Pauling
> E. B. Wilson Jr.
>
> edizione Dover in lingua inglese
Nientemeno!
Pensa che su quel libro io ho fatto un primo approccio alla meccanica
quantistica, quando facevo il terzo anno.
Era il 1950...
Non mi ricordo niente di come era fatto, ma certo se vuoi capire la
meccanica non è il massimo.
Non mi sono chiari i tuoi obiettivi, ma potresti provare a guardare un
altro classico (un po' meno antico): il Goldstein (Meccanica Classica:
esiste anche la trad. italiana).
--
Elio Fabri
Received on Fri May 21 2021 - 21:32:14 CEST