Re: Equazione di evoluzione.

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Sat, 22 Mar 2003 20:51:58 +0100

Valter, cio' che segue l'avevo scritto ieri, prima di leggere il tuo
post.
L'ho mandato, ma non e' apparso. C'e' una buona sovraposizione con
quanto hai scritto tu, ma ci sono anche delle differenze. E visto che ho
fatto la fatica...

Facciamo cosi': visto che giusto la prossima settimana debbo trattare
quest'argomento a lezione, faccio finta di anticipare un po', e riassumo
quello che diro'...

Il problema nasce dal fatto che se abbandoniamo la struttura euclidea, e
prendiamo in considerazione uno spazio-tempo eventualmente curvo, non
sappiamo piu' come definire gli operatori differenziali sui campi
vettoriali.
Qualunque op. diff. su un campo vett. richiede il calcolo di una
derivata del campo, intesa - secondo tradizione - come limite di un
rapporto incrementale. E qui sta il problema: per calcolare un rapp.
incrementale debbo prima calcolare la differenza tra i valori del campo
in due punti vicini. Questo in uno spazio euclideo e' banale: si usano
le componenti cartesiane, e si opera su quelle componenti. Oppure (ma e'
la stessa cosa) si sfrutta il fatto che ha un senso preciso dire che un
campo vett. ha _lo stesso valore in due punti distinti_: vuol dire che
che le componenti cartesiane sono le stesse.
Oppure: si osserva che ha senso traslare parallelamente un vettore da un
punto a un altro.
(Nota: si vede che in realta' la struttura euclidea non e' necessaria:
cio' che occorre e' l'esistenza di rette parallele, ossia la struttura
affine.)
Ma se lo spazio non e' euclideo, ne' affine, non ci sono coordinate
cartesiane, non si sa che cosa siano le parallele (anzi, in partenza non
si sa neppure cosa siano le rette). Che si fa?

L'idea, espressa in termini astratti, e' che occorre definire una
struttura che sostituisca quella che manca: sara' quella che si chiama
_connessione affine_.
Cio' si puo' fare in piu' modi:
a) definendo una derivata covariante
b) definendo il trasporto parallelo
c) definendole geodetiche.
(Confesso pero' che la sola presentazione rigorosa che conosco e' quella
che parte da a) e arriva a b) e c): non so se sia possibile anche
partire da b), nel senso di dare una definizione assiomatica di tr.
parallelo, e problema analogo ho per c), anche se conosco la costruzione
di Schild, che mostra come costruire il tr. parallelo date le
geodetiche.)
Mi pare che il vantaggio di partire da a) sia che si tratta di una
definizione differenziale, quindi locale, mentre b) e c) coinvolgono
punti distanti, quindi mi pare pongano problemi di compatibilita'
piuttosto complessi.

Si danno percio' gli assiomi che caratterizzano una derivata covariante
D (senza torsione, ovvero simmetrica, perche' ci basta) sulla varieta'
differenziale M, e non credo utile ora riportarli e discuterli: mi basta
dire che cosi' sappiamo, dato un campo vettoriale v su M, come definire
D(P,u,v) da leggersi "derivata di v nel punto P rispetto a u"
(arbitrario vettore dello spazio tangente in P).
Fino a questo punto la definizione e' largamente arbitraria: si dimostra
che si puo' caratterizzare la D (ossia la connessione affine) scegliendo
un sistema di coordinate e assegnando i _coefficienti di connessione_
\Gamma^i_{jk} (simmetrici in j,k): funzioni a valori reali su M che
dipendono in modo complicato dal sistema di coord.: non sono le comp. di
un tensore.

Data la conn. affine, ne segue il trasporto parallelo, come segue: se g
e' una curva, ossia un'applicazione R->M (differenziabile, sempre
sottinteso), il campo vett. v definito su g e' parallelo se
D(P,u,v)=0 (1)
per ogni punto P di g, essendo u il vettore tangente a g in P.
L'eq. (1) determina v su tutta la curva, se e' dato in un suo punto.

Adesso (e solo adesso) ha senso chiedersi se v e' "costante" su g, come
ho invano chiesto a rez: e' lo stesso che dire che e' parallelo.
Ne segue anche la definizione di geodetica: g e' una geodetica se
D(P,u,u)=0, ossia se il suo vettore tangente e' parallelo (o costante).

Nota: questo e' il significato della scrittura di rez: dP/dT=0. Dove P
e' il mio u (al piu' a meno di un fattore costante), T e' il parametro
affine della geodetica, in questo caso identificato col tempo proprio, e
l'impropria notazione di derivata nasconde la necessita' di definire una
connessione affine.

Osservazione: se A, B sono due punti di g, e g' e' un'altra curva che
passa per gli stessi punti, *non e' affatto detto* che il trasporto
parallelo da A a B dia lo stesso risultato sulle due curve.
Se esiste un sistema di coord. nel quale i coeff. della connessione D
sono identicamente nulli, si dice che la varieta' e' "piatta" (ovvero
"affine").
Facile vedere che in una varieta' piatta il trasp. par. *non dipende
dalla curva*, e siamo tornati al caso semplice.
Meno ovvio il risultato inverso: se il tr. par. non dipende dalla curva,
M e' piatta.

Si noti: in tutto questo non e' ancora entrata la metrica, ossia non e'
stato necessario supporre che la varieta' sia _riemanniana_. Se lo e',
posso chiedermi se la conn. affine sia _compatibile_ con la metrica:
cio' vuol dire (un possibile modo di dirlo) che il trasp. parallelo
_lascia invariato il prodotto scalare_ di due vettori.
Si dimostra che esiste _una e una sola_ conn. affine compatibile con una
data metrica: e' quella che si chiama la "connessione di Levi-Civita". I
suoi coeff. si calcolano a partire dalle derivate delle componenti del
tensore metrico, con formule che molti conoscono.

Nota storica: Originariamente tutto questo e' stato costruito
(Levi-Civita) lavorando con coordinate in varieta' riemanniane. Poi si
e' capito (Cartan, credo)
a) che era possibile trattare il problema anche in assenza di metrica
b) che non era necessario usare le coordinate.

Nota personale: Valter perdonera' le molte omissioni e imprecisioni di
linguaggio, almeno in parte volute, che lui sicuramente ha visto, e
forse altri no ;-)

Pangloss ha scritto:
> ...
> I (pochi) libri di RG che conosco prendono le mosse dallo "spostamento
> parallelo di un vettore", per definire poi la derivata covariante, ecc.
> Purtroppo sui libri in questione lo spostamento parallelo non mi sembra
> presentato con rigore e limpidezza adeguati ad un concetto fondazionale.
Ho passato un po' di tempo a controllare due libri: Finzi-Pastori e
Landau.
Il primo considera sempre e soltanto var. riemanniane immerse in uno
spazio euclideo (il che e' in realta' sempre possibile, quindi e' una
scappatoia praticabile, anche se poco elegante...).
Certo questo semplifica molte cose: per es. lo spazio tangente e' ...
tangente per davvero :)
Non si spreca mai a considerare l'opportunita' di definizioni
_intrinseche_: forse non ne vede neppure l'interesse, o forse non vede
il problema? Inutile dire che usa sempre e solo coordinate (arbitrarie
nella varieta', cartesiane nello spazio ambiente).

Invece Landau (che si occupa solo dello spazio-tempo) parla vagamente di
trasporto parallelo, senza darne nessuna definizione (come dice
Pangloss). In realta' quello che c'e' scritto si puo' interpretare
cosi': il tr. parallelo (infinitesimo) e' definito assiomaticamente, in
base a certe proprieta', per es. la linearita', l'invarianza del
prodotto scalare... Questo e' del tutto equivalente a quanto ho scritto
io qui sopra, salvo il fatto che Landau non sa fare a meno delle
coordinate. Il che ha un solo vantaggio, mi pare: evita di dover dare
una definizione di vettore tangente.

Incidentalmente, l'osservazione di rez, che la der. covariante serve
anche se lo spazio e' piatto, indica che anche lui e' attaccato alle
coordinate. Infatti l'osservazione e' giusta solo in questo senso: che
anche se la varieta' e' piatta, lavorando con coord. arbitrarie i coeff.
di connessione non sono nulli, e quindi la derivata non puo' essere
fatta derivando semplicemente le componenti del campo vettoriale.
Il punto e' pero' che se lo spazio e' piatto io *posso* usare coord.
cartesiane, e farmi la vita facile; se lo spazio e' curvo *non posso*, e
non saprei neppure come definire la derivata, se non procedessi come ho
illustrato sopra (o alternativamente come fanno Finzi-Pastori).

Scusate la tirata, e speriamo almeno che serva...
-------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
-------------------
Received on Sat Mar 22 2003 - 20:51:58 CET