Re: Dubbi su problema delle olimpiadi di fisica

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Mon, 17 Feb 2003 19:58:15 +0100

Gilberto ha scritto:
> Alle olimpiadi di fisica era presente un problema (il primo) che proprio non
> riesco a risolvere.
> ...
> sostituendo si ha
>
> (d-r)^2 * r^3 * omega^2 = omega^2*d^3*( (d-r)^2 - alfa*r^2)
>
> ...
> Essendo che sono sicurissimo che ci sia stato un metodo molto migliore per
> risolverlo (ma non lo vedo proprio) qualcuno di voi luminari (o se c'e' un
> qualche organizzatore che scrive nel newsgroup) mi potrebbe dare una dritta,
> possibilmente non usando roba troppo complessa (a livello di quinta liceo,
> diciamo)
Uhm... La fisica e' OK, ma l'italiano non e' il tuo forte, vero? :)

Non sono uno degli organizzatori, ma ce n'e' uno nello studio accanto al
mio. Pero' non l'ho consultato, e a dire il vero non ho neppure capito
come andrebbe usato il suggerimento.
Comunque, ripartiamo dalla tua equazione, che divisa per omega^2 e con
semplici passaggi diventa

(d-r)^2 * (d^3 - r^3) = alfa*d^3*r^2.

Posso ancora estrarre un d-r dalla differenza dei cubi:

(d-r)^3 * (d^2 + d*r + r^2) = alfa*d^3*r^2.

Ora per alfa = 0 questa avrebbe tre radici coincidenti r=d, per cui e'
ovvioche se afa e' piccolo le radici saranno vicine a d. Conviene quindi
porre r = d-x, con x <<d, e si arriva a

x^3 = alfa * d^3 * (d^2 - 2d*x + x^2)/(3d^2 + 3d*x + x^2). (1)

E' allora evidente che come prima approssimazione possiamo trascurare
tutte le x a secondo membro, ottenendo come unica radice reale

x = (alfa/3)^(1/3) * d.

Volendo una migliore approssimazione, potresti sostituire questo valore
di x a secondo membro della (1), e ricavare di nuovo x, ecc.

Nota 1. A rigore, hai trascurato che anche il Sole si muove; ma credo
che ilproblema desse per scontata questa approssimazione, che produce un
errore molto piu' piccolo.

Nota 2. Ci sono altri due punti dove una sonda puo' stare in equilibrio:
uno al di la' della Terra, e uno al di la' del Sole. Trovali...
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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Received on Mon Feb 17 2003 - 19:58:15 CET