On 11/22/10 9:45 PM, Valter Moretti wrote:
> On Nov 22, 9:11 pm, Elio Fabri<elio.fa..._at_tiscali.it> wrote:
>
>> Non e' lo stesso col ferromagnetismo?
>> E poi non ho capito dove entra il limite termodinamico e quindi gli
>> infiniti gradi di liberta': non abbiamo la stessa situazione anche al
>> finito?
> Ciao, si secondo me � quello il punto, per� a livello quantistico: se
> quantizzi, nel limite termodinamico, e trovi un ground state
> dell'hamiltoniano, non c'� una trasformazione unitaria che trasforma
> questo stato in un analogo ground state e che rappresenta l'azione
> della simmetria che dici tu sopra (credo che in quel caso il gruppo
> sia SO(3)). Credo che se assumi una cosa simile e calcoli il prodotto
> scalare tra i due presunti ground states, nel limite termodinamico,
> tale prodotto diverge o succede qualche altro disastro. In questo
> senso si ritrova la rottura spontanea di simmetria nel senso che
> dicevo io (nella versione pi� semplice).
> Rimendo nel caso completamente classico, mi par eche Giorgio abbia
> detto proprio quello che hai capito tu, con la precisazione che le
> configurazioni (statiche?) che si cercano non sono soluzioni, ma
> minimi in qualche senso di qualche funzionale energia.
La situazione al finito non � assimilabile alla SSB, anche se spesso si
introducono modelli-giocattolo tipo la buca "a sombrero" in 2D o la
lamina sotto compressione che deve "scegliere dove piegarsi" che
contengono parte della storia. Ma non tutta.
Come osservi tu, il carattere distintivo della SSB, altre alla minore
simetria del GS rispetto all' hamiltoniano �, nl caso quantistico l'
assenza di una trasformazione unitaria, ovvero la comparsa di GS non
equivalenti.
Nell' esempio del "sombrero" le posizioni di equilibrio della particella
sono collegabili mediante trasformazioni unitarie (ortogonali per una
particella classica). In teoria dei campi non pi�. I vuoti diventano non
equivalenti. Che poi significa che una volte che il sistema ne ha
selezionato uno, non c'e' nulal al mondo che permetta di passare ad un
altro.
Ma la stessa cosa si verifica in meccanica statistica classica.
Prendi un modello XY. Puoi pensaro come un reticolo 2D in ogni punto del
quale c' � un momento magnetico di intesit� costante che pu�
orientarsi come vuole nel piano. L' hamiltoniano � invariante per
rotazioni. Al di sotto del punto critico, lo stato di equilibrio mostra
un momento medio (il parametro d' ordine) diverso da zero: c'� un'
orientazione privilegiata. Tuttavia, gli stati con momento ruotato (in
principio equivalenti) non sono pi� raggiungibili. La loro probabiit� �
diventata zero. Si pu� dire che il costo di energia per ruotare la
magnetizzazione media � diventato infinito al limite termodinamico.
Similmente per altre simmetrie ;p.es. la transizione liquido solido
"seleziona" un particolare reticolo cristallino tra tutti gi infiniti
equivalenti per traslazione continua. La connessione di qeste SSB con i
modi di Goldstone ovviamente dipende dal tipo di simmetria che viene rotta.
Tutto questo �, ovviamente "a parole". Si possono formalizzare meglio le
condizioni di SSB p.es. verificando la non commutativit� tra limite per
campo esterno che va a zero e limite termodinamico e si pu� estendere il
discorso in varie direzioni, incluse situazioni dinamiche.
Qualcosa di pi� approfondito la si trova p.es. in lavori di Strocchi. P.
es. la seconda edizione del suo testo "Symmetry Breaking" inizia con
una prima parte interamente dedicata alla SSB in teorie di campo classiche.
Counque, se ti/vi interessa posso recuperare un po' di bibliografia
rilevante.
Giorgio
Received on Mon Nov 22 2010 - 22:23:01 CET
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