Buongiorno, Dottor Jekyll ha scritto:
> Scusa ma se si hanno solo le f_n(x) e gli E_n e non si ha la f(x) come si
> dovrebbe fare a calcolare l'integrale ? Dai calcoli sulla buca di potenziale
> infinitamente profonda si ricavano solo le autofunzioni e gli autovalori,
> mentre nell'integrale che proponi compare la f(x) la cui espressione non si
> conosce ma si vorrebbe ricavare. Comunque pu� essere sono io che non
> riesco a seguire il tuo ragionamento. Mi potresti ricavare almeno un
> coefficiente a_n dello sviluppo in serie di f(x) mediante in metodo che
> proponi ?
Ad ogni stato che la particella nella buca infinita puo' assumere e' associata
una funzione d'onda (a meno di un fattore moltiplicativo costante) e viceversa,
quindi per ricavare la f(x) bisogna sapere in anticipo in quale stato si trova la
particella, non si puo' calcolare f(x) con un procedimento matematico a priori
utilizzando solo le informazioni contenute nell'hamiltoniana.
Lo sviluppo f(x) = somma(in n)(a_n f_n(x)) vale perche' le f_n(x)
costituiscono un sistema ortonormale completo su L^2[0, a] (sono le funzioni
che corrispondono ad es. ai modi normali di una corda elastica di lunghezza a
avente gli estremi fissi) quindi ogni funzione d'onda f(x) in L^2[0, a] puo'
essere sviluppata in serie di Fourier nella base f_n(x), ma per calcolare i
coefficienti di Fourier a_n bisogna conoscere preventivamente la f(x).
L'utilita' dello sviluppo in termini di autofunzioni dell'hamiltoniana si vede
tra l'altro nello studio dell'evoluzione temporale del sistema, conoscendo
lo stato del sistema al tempo iniziale f(x,t=0) = somma(in n)(a_n(0) f_n(x))
ove i coefficienti a_n(0) non dipendono dal tempo, e' immediato ottenere
la funzione d'onda ad un qualsiasi istante successivo t>0,
f(x,t) = somma(in n)(a_n(t) f_n(x)), ove i coefficenti a_n(t) sono dati
dall'equazione a_n(t) = a_n(0)*exp[-iE_n t / h] (h=htagliato), questo risultato
si ottiene immediatamente applicando l'equazione di Schroedinger dipendente
dal tempo all'equazione f(x,t) = somma(in n)(a_n(t) f_n(x)) con la data
condizione iniziale.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Received on Thu Jun 13 2002 - 08:30:03 CEST