Re: Il vuoto di cosa ?pieno? (lungo)

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: Fri, 07 Jun 2002 10:55:01 +0200

Roberto ha scritto:


> D'accordo sul fatto che nelle teorie assiomatiche dei campi lo stato di
> vuoto deve avere energia nulla (ma la densita' di energia del campo ha
> fluttuazioni). Ho pero' un dubbio: quando sono presenti boundary conditions
> sul campo, come nel caso dell'effetto Casimir, le proprieta' di invarianza
> dello stato di vuoto non dovrebbero cambiare, visto che ad esempio non si ha
> piu' invarianza traslazionale? Ma forse questo non riguarda l'energia, visto
> che rimane l'invarianza temporale.
> Vorrei pero' ripigliare il discorso fuori dall'ambito delle teorie
> assiomatiche. Si puo' in ogni caso far andare a zero l'energia dello stato
> di vuoto usando l'ordinamento normale degli operatori, o equivalentemente
> spostando lo zero dell'energia. Questo comporta pero' il ritrovarsi con
> operatori densita' di energia del campo libero(elettrico e magnetico, nel
> caso della QED) non piu' definiti positivi, cosa secondo me insoddisfacente.
> Inoltre la costante da sottrarre all'Hamiltoniana dipende dalle boundary
> conditions, cioe' dalla distanza tra i conduttori nel caso di sistemi tipo
> effetto Casimir. Forse questo fatto fa rispuntare da dietro l'angolo
> l'effetto Casimir??



Ciao, la questione e` che l'ordinanmento normale in generale e` una schifezza,
se ti togli dallo spaziotempo senza bordi e piatto, in generale l'ordinamento
normale non ha senso fisico.
L'ordinamento normale nel Minkowski e` null'altro che la sottrazione dalla
quantita` da rinormalizzare del valore medio che la quantita` considerata
assume nel vuoto di Minkowski. In assenza di uno stato di vuoto privilegiato
tale definizione non si puo` piu` dare. Oppure si puo` dire d'ufficio che
i valori medi delle grandezze su ogni stato di vuoto siano nulle. Questa
seconda possibilita` produce delle contraddizioni con requisiti di localita`
e covarianza. La generalizzazione dell'ordinamento normale in ambienti
che non siano il Minkowski e` qualcosa di piu` complicato che NON puo` fare
riferimento alla sottrazione rispetto ad uno stato particolare (anche se
nel caso limite di Minkowski cio` accade e lo stato particolare
e` il vuoto di Minkowski). Quindi non c'e' nulla che "fluttui"
rispetto ad un "vuoto di riferimento". Non solo, ma ritengo anche che l'idea
di "fluttuazioni di vuoto" sia una chimera che confonda le idee e basta.
Se uno vuole fare le cose per bene il linguaggio e` quello della
localita` e covarianza: ripeto il centro della questione e` cosa
sostituire al normal ordering in assenza di simmetria di Poincare`, tutto
il resto viene da solo una volta capito cio`.
La storia della questione quando posta nei termini, a mio avviso corretti,
  e` molto lunga ed ha recentemente avuto una svolta
fruttuosa dopo alcuni lavori

di R.Brunetti, K. Fredenhagen
(MICROLOCAL ANALYSIS AND INTERACTING QUANTUM FIELD THEORIES: RENORMALIZATION ON
PHYSICAL BACKGROUNDS. Commun.Math.Phys.208:623-661,2000
e-Print Archive: math-ph/9903028)

di S. Hollands e R. M Wald
(LOCAL WICK POLYNOMIALS AND TIME ORDERED PRODUCTS OF QUANTUM FIELDS IN CURVED
SPACE-TIME.Commun.Math.Phys.223:289-326,2001
e-Print Archive: gr-qc/0103074)

e del sottoscritto (COMMENTS ON THE STRESS ENERGY TENSOR OPERATOR IN CURVED
SPACE-TIME. to appear in Commun.Math.Phys.
e-Print Archive: gr-qc/0109048)

In questi lavori si e` data una definizione rigorosa su cosa si deve
intendere per operatore di campo (incluse le potenze calcolate in uno
stesso punto e le derivate di esso) che sia *locale e covariante* in
assenza della simmetria di Poincare`(e quindi in generale in assenza
di unico stato di "vuoto" rispetto al quale sottrarre o "fluttuare",
e di unico spazio di Hilbert.)
Sono stati provati teoremi di unicita'. E` poi stato provato che
le definizioni non sono vuote ed sono quelle che nei casi particolari
sono state usate per rinormalizzare in ambiente curvo o non banale
(si puo` fare solo per alcuni stati detti di Hadamard.) riducendosi
ai soliti risultati nel caso di Minkowski.

(N.B. Non solo il normal ordering, ma tutta la procedura perturbativa di
rinormalizzazione nel caso di campi autointeragenti puo` essere ricostruita
rispettando i requisiti di sopra con una definizione coerente di time ordering
data nel secondo lavoro citato e dimostrata non vuota solo recentemente da S.
Hollands e R.M.Wald (EXISTENCE OF LOCAL COVARIANT TIME ORDERED PRODUCTS OF
QUANTUM FIELDS IN CURVED SPACE-TIME. e-Print Archive: gr-qc/0111108))


Nell'ultimo lavoro indicato sopra, il mio, ho mostrato come costuire
l'operatore tensore energia-impulso in ambiente diverso da Minkowski
che rispetti tutti i requisiti di covarianza e localita` voluti
dimostrando che la definizione e` in accordo con altre tecniche di
rinormalizzazione analitiche basate sull'integrale funzionale.


Applicando le definizioni generali di cui sopra alla densita` di energia,
o meglio mediando l'operatore tensore energia impulso sullo stato
naturale di vuoto di un campo confinato tra due piastre infinite all'interno
dello spaziotempo di Minkowski, si vede che la densita` di energia non e`
in generale nulla (in realta` c`e' una scala di rinormalizzazione da fissare
e cio` che si trova e` la forma funzionale della densita` di energia, la scala
si puo` fissare richiedendo che se le pareti si spostano a distanza infinita
la densita` si annulli come deve essere nel Minkowski).

In realta` la questione e` molto piu` problematica perche`, come ben noto
da sempre, se si usa tale densita` di energia per calcolare l'energia
totale "racchiusa" tra le piastre, si ha un infinito in quanto la densita`
di energia diverge vicino alle piastre. Ci sono almeno altri due metodi
per calcolare l'energia (globale non la densita`) di Casimir che non
usano procedure locali, ma regolarizzano l'integrale funzionale. Il valore (la
dipendenza funzionale dai parametri in gioco) dell'energia che viene fuori e`
diverso in tutti i casi o meglio ha una parte comune e diverse altre parti che
dipendono dalla procedura di calcolo.

Io non sono un esperto di "Casimir energy", ma ne ho discusso l'anno scorso
con K. Kirsten che invece e` un esperto. Mi ha detto che tutte queste
differenze derivano dal fatto che in realta` le piastre non sono delle
superfici ideali e che ad un certo punto, nella realta`, i campi
si comportano in modo diverso dalla situazione ideale vicino alle piastre
che sono costituite da particelle!
Non solo, ma ogni procedura di rinormalizzazione per ottenere il valore
ideale dell'energia di Casimir in realta` ha un modello diverso
di "piastra ideale" e cio` spiega le differenze nelle predizioni teoriche.


In tutto questo, lo ripeto io non capisco cosa c'entrino le fatidiche
"fluttuazioni di vuoto".


Ciao, Valter


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Valter Moretti
Dipartimento di Matematica
Universita` di Trento
http://alpha.science.unitn.it/~moretti/home.html
Received on Fri Jun 07 2002 - 10:55:01 CEST

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