Angelo M. ha scritto:
> A parte la "Posizione / Quantità di moto", che è largamente citata,
> di quali altre grandezze si parla?
> Spesso si cita anche la coppia Angolo/Azione, o Tempo/Energia.
Di quelle che citi, solo la prima ha senso.
Non so se riuscirò a spiegarlo in uno spazio ragionevole...
Il primo esempio è l'unico in cui si possa fare un discorso pulito,
anche se non banale. Se q è una coord. cartesiana, che assuma tutti i
valori reali (lascio quindi da parte i casi di particelle vincolate,
che presentano problemi addizionali tutt'altro che semplici) e p il
suo momento coniugato, lo spazio di Hilbert H astratto degli stati
ammette una rappr. classica: lo spazio delle funzioni L^2(R).
In questo spazio l'operatore q è rappresentato dalla semplice
moltiplicazione per x di una funzione f(x), mentre p è rappresentato
da: -i hbar d/dx.
Superficialmente è ovvio che [q,p]= i hbar, ma se vai a grattare le
cose si complicano.
Primo: tanto q quanto p sono operatori autoaggiunti non limitati, che
hanno spettro continuo coincidente con R (assumo che tu sappia che
cos'è lo spettro di un op- autoaggiunto). Quindi (di passaggio) non
hanno autovettori.
Secondo: un op. non limitato non può avere per dominio tutto H. Poco
male: basta che D(q) e D(p) siano densi in H. E fin qui ci si arriva,
però già si vede che la scrittura
[q,p] = i hbar
che andrebe meglio scritta
[q,p] = i hbar I
(I op. identità) non può essere giusta.
Anzi: per dare significato al commutatore occorre verificare che i
prodotti qp e pq abbiano un dominio D comune denso in H. Si verifica
che ciò accade, ma ne segue che al posto di I bisogna scrivere I|D
(restrizione di I in D).
Terzo: operando in D si *dimostra* che vale la rel. d'indet. che sai.
Che quindi è un teorema di matematica (in realtà ben noto prima della
m.q. anche se non aveva l'interpr. fisica che stiamo dicendo).
Niente a che fare perciò con misure, compatibilità, ecc.
Quarto: un aspetto positivo è la dualità che esiste tra q e p, data
dalla trasf. di Fourier.
Ho parlato di rappr. di H con funzioni L^2 della variabile reale x,
dove q è rappresentato dalla moltiplicazione per x, ecc.
Nel gergo della m.q. questa si chiama "rappr. delle coordinate" oppure
"rappr. di Schroedinger".
Ma esiste anche la "rappr. dell'impulso", costituita dalle g(k) con p
rappresentato dalla molt. per k (e q da: i hbar d/dk).
Saprai che se un certo vettore di stato ha la rappr. f(x), la sua
rappr. dell'impulso non è che la trasf. di Fourier di f. Non sto a
scrivere la formula.
Qui finisce il caso "buono".
Passiamo ora all'azione, dove si trova in giro un po' di confusione,
Occorre conoscere un po' di mecc. hamiltoniana, e comunque si arriva a
un risultato semplicemente negativo: una rel. d'indet. in questo caso
*non esiste*.
Presumo che tu conosca l'azione con integrale su un intervali di tempo
della lagrangiana. Bene: l'azione di cui si parla qui non è quella.
Si parte dal teorema di Liouville (oggi noto come teorema di Liouville
Arnol'd) secondo cui se in un sistema hamiltoniana cn n gradi di
libertà esistono n integrali primi in convoluzione (ossia che
commutano tra loro) a,,ora il sistema è *integrabile*, ossia la
soluzione richiede il semplice calcolo d'integrali.
Gli n integrali primi J_i prendono il nome di "variabili d'azione", e
le variabili coniugate phi_i sono le "variabili di angolo".
Quando si quantizza il sistema, sarebbero queste le osservabili che
soddisferebbero rel. d'indet.
Ma c'è un ma, che ti illustro con un esempio.
Nel caso di un sistema che abbia invarianza per rotazioni, una coppia
"angolo-azione" è data dalla componente z del momento angolare (L_z) e
dall'angolo azimutale phi.
Puoi trovare spesso la relazione di commutazione:
[phi,L_z] = i hbar (1)
e magari l'asserzione che da qui segue la rel. d'indet. che sai.
Ma purtroppo è sbagliata e non ha senso.
Lo puoi capire da un assurdo che ne segue.
Sappiamo che L_z ha autovalori discreti (n hbar, con m in Z).
Assunta la (1), sia |m> un autovettore di L_z: calcoliamo
<m| [phi,L_z] |m> = <m| phi L_z] |m> - <m| L_z phi |m> =
<m| phi |m> - <m| phi |m> = 0. (2)
La spiegazione te la do domani.
> ...
> Questa relazione pare consegnarci un mondo sfumato, dove l'estrazione
> di un'informazione di un parametro fa evaporare l'informazione su
> altri parametri .
Lascia perdere.. Su questo ti rimando alla "candela" di cui parlo in
fondo.
> Un secondo punto bizzarro: nessuna delle due quantità di una coppia
> incompatibile può essere nulla (perché, se lo fosse, l'imprecisione
> sul valore sarebbe zero, e nulla si potrebbe dire sul valore
> dell'altra)
Qui sei tu che sbagli.
Non può essere nulla come non può avere nessun valore preciso, zero o
non zero.
Però può benissimo avere *valor medio* nullo, come accade per es. alla
x di qualsiasi elettrone nello stato stazionario di qualsiasi atomo.
> ...
> Ciò porta a pensare che se confino in una scatola un oggetto, questo
> deve necessariamente incominciare a muoversi.
> Sembra contrastare con la conservazione dell'energia, sempre che,
> per confinare, non occorra sempre spendere energia. Così stanno le
> cose?
Più o meno. Più facile capire che cosa succede se tenti d'impicciolire
la scatola.
La particella urta di continuo le pareti, quindi in media esercita una
pressione.
Per impicciolire la scatola devi fare lavoro contro questa pressione
(Ti avverto però che il discorso che ho fatto, per essere sbrigativo,
è parecchio impreciso, nel senso che mescola allegramente concetti
quantistici e concetti della mecc. statistica classica. Il tutto si può
mettere in pulito, ma non in questa risposta su un NG.)
Alberto Rasà ha scritto_
> E' difficile combattere contro questa ambiguità di interpretazione,
> che si è radicata nella comunità fisica.
Solo un brevissimo commento.
Purtroppo il principale colpevole è lo stesso Heisenberg.
Non sono riuscito a capire bene se avesse solo le idee poco chiare, o
se fosse viziato da un pregiudizio filosofico.
Sull'argomento ho scritto qualcosa anni fa:
http://www.sagredo.eu/candela/candel81.pdf
dalla fine di pag. 2 in poi.
--
Elio Fabri
Received on Sun Dec 26 2021 - 21:12:53 CET