Il giorno domenica 26 dicembre 2021 alle 23:50:03 UTC+1 Elio Fabri ha scritto:
> Angelo M. ha scritto:
> > A parte la "Posizione / Quantità di moto", che è largamente citata,
> > di quali altre grandezze si parla?
> > Spesso si cita anche la coppia Angolo/Azione, o Tempo/Energia.
> Di quelle che citi, solo la prima ha senso.
> Non so se riuscirò a spiegarlo in uno spazio ragionevole...
>
> Il primo esempio è l'unico in cui si possa fare un discorso pulito,
> anche se non banale. Se q è una coord. cartesiana, che assuma tutti i
> valori reali (lascio quindi da parte i casi di particelle vincolate,
> che presentano problemi addizionali tutt'altro che semplici) e p il
> suo momento coniugato, lo spazio di Hilbert H astratto degli stati
> ammette una rappr. classica: lo spazio delle funzioni L^2(R).
>
> In questo spazio l'operatore q è rappresentato dalla semplice
> moltiplicazione per x di una funzione f(x), mentre p è rappresentato
> da: -i hbar d/dx.
> Superficialmente è ovvio che [q,p]= i hbar, ma se vai a grattare le
> cose si complicano.
> Primo: tanto q quanto p sono operatori autoaggiunti non limitati, che
> hanno spettro continuo coincidente con R (assumo che tu sappia che
> cos'è lo spettro di un op- autoaggiunto). Quindi (di passaggio) non
> hanno autovettori.
>
> Secondo: un op. non limitato non può avere per dominio tutto H. Poco
> male: basta che D(q) e D(p) siano densi in H. E fin qui ci si arriva,
> però già si vede che la scrittura
> [q,p] = i hbar
> che andrebe meglio scritta
> [q,p] = i hbar I
> (I op. identità) non può essere giusta.
> Anzi: per dare significato al commutatore occorre verificare che i
> prodotti qp e pq abbiano un dominio D comune denso in H. Si verifica
> che ciò accade, ma ne segue che al posto di I bisogna scrivere I|D
> (restrizione di I in D).
>
> Terzo: operando in D si *dimostra* che vale la rel. d'indet. che sai.
> Che quindi è un teorema di matematica (in realtà ben noto prima della
> m.q. anche se non aveva l'interpr. fisica che stiamo dicendo).
> Niente a che fare perciò con misure, compatibilità, ecc.
>
> Quarto: un aspetto positivo è la dualità che esiste tra q e p, data
> dalla trasf. di Fourier.
>
> Ho parlato di rappr. di H con funzioni L^2 della variabile reale x,
> dove q è rappresentato dalla moltiplicazione per x, ecc.
> Nel gergo della m.q. questa si chiama "rappr. delle coordinate" oppure
> "rappr. di Schroedinger".
> Ma esiste anche la "rappr. dell'impulso", costituita dalle g(k) con p
> rappresentato dalla molt. per k (e q da: i hbar d/dk).
> Saprai che se un certo vettore di stato ha la rappr. f(x), la sua
> rappr. dell'impulso non è che la trasf. di Fourier di f. Non sto a
> scrivere la formula.
>
> Qui finisce il caso "buono".
> Passiamo ora all'azione, dove si trova in giro un po' di confusione,
> Occorre conoscere un po' di mecc. hamiltoniana, e comunque si arriva a
> un risultato semplicemente negativo: una rel. d'indet. in questo caso
> *non esiste*.
> Presumo che tu conosca l'azione con integrale su un intervali di tempo
> della lagrangiana. Bene: l'azione di cui si parla qui non è quella.
>
> Si parte dal teorema di Liouville (oggi noto come teorema di Liouville
> Arnol'd) secondo cui se in un sistema hamiltoniana cn n gradi di
> libertà esistono n integrali primi in convoluzione (ossia che
> commutano tra loro) a,,ora il sistema è *integrabile*, ossia la
> soluzione richiede il semplice calcolo d'integrali.
> Gli n integrali primi J_i prendono il nome di "variabili d'azione", e
> le variabili coniugate phi_i sono le "variabili di angolo".
>
> Quando si quantizza il sistema, sarebbero queste le osservabili che
> soddisferebbero rel. d'indet.
> Ma c'è un ma, che ti illustro con un esempio.
> Nel caso di un sistema che abbia invarianza per rotazioni, una coppia
> "angolo-azione" è data dalla componente z del momento angolare (L_z) e
> dall'angolo azimutale phi.
> Puoi trovare spesso la relazione di commutazione:
> [phi,L_z] = i hbar (1)
> e magari l'asserzione che da qui segue la rel. d'indet. che sai.
> Ma purtroppo è sbagliata e non ha senso.
> Lo puoi capire da un assurdo che ne segue.
> Sappiamo che L_z ha autovalori discreti (n hbar, con m in Z).
> Assunta la (1), sia |m> un autovettore di L_z: calcoliamo
>
> <m| [phi,L_z] |m> = <m| phi L_z] |m> - <m| L_z phi |m> =
> <m| phi |m> - <m| phi |m> = 0. (2)
>
> La spiegazione te la do domani.
>
Commento pensando che il formalismo Hamiltoniano e' piu' ricco
di quello lagrangiano. Infatti da ogni Lagrangiana ottieni una Hamiltoniana, ma non vale il viceversa.
Nella meccanica di Hamilton esistono traformazioni canoniche che non sono interpretabili fisicamente. Non basta che due variabili siano canonicamente coniugate, nel senso hamiltoniano, perchè tra loro sussita l'ideterminazione.
Però mi ha colpito la potenza del formalismo di H., quando ho visto dimostrare, in modo elegante, che il periodo delle orbite dei pianeti non dipende dall'eccentricità dell'orbita.
> > Questa relazione pare consegnarci un mondo sfumato, dove l'estrazione
> > di un'informazione di un parametro fa evaporare l'informazione su
> > altri parametri .
> Lascia perdere.. Su questo ti rimando alla "candela" di cui parlo in
> fondo.
Comprendo il tuo suggerimento.
E' il caso che io confessi che la mia laurea è in Filosofia, conseguita dopo un giovanile liceo scientifico.
Non è senza motivo che in un NG di fisica questa mia formazione possa apparire fuori luogo, se non addirittura blasfema. :-).
I filosofi tendono a sparare immani cazzate quando si illudono di avere competenze che non hanno.
Però io penso che non si possa fare filosofia, oggi, se non si possieda, almeno in una certa misura, la conoscenza della struttura della Fisica, della Biologia, della Psicologia, della logica, etc.
(ti prego di non chiedermi dove vada situata questa "certa misura"; mi metteresti in difficoltà).
E' ovviamente sempre indebita la trasposizione di un concetto valido in una disciplina in un altra disciplina.
Per divertire, riporto il ragionamento proposto (purtroppo seriamente) da un mio collega:
" Poichè è dimostrato che ogni sistema formale sufficientemente ricco contiene almento una proposizione indecidibile, e poichè la mente è necessariamente un sistema formale, allora esistono idee lecite indecidibili, e dunque deve esistere un sistema di ordine superiore, che decida la verità".
Sfortunatamente, la densità di simili castronerie (più o meno grossolane) è più elevata di quello che si pensi.
Per contro:
- le rivoluzioni di pensiero che nascono, in dati periodi storici, nelle diverse discipline hanno un filo conduttore comune. Come se in effetti ci fosse qualcosa di mutuabile, nelle scoperte.
Forse è quel fenomeno che Jung chiamò "sincronicità"
- penso che ogni uomo curioso del mondo, senta il rimpianto del tempo in cui era obiettivo perseguibile la cultura leonardesca, a tutto tondo. La padronanza ( o quantomeno la semplice comprensione) di ogni argomento esige ora, se non una vita, quasi.
E, incidentalmente, bisogna anche lavorare per portare a casa la pagnotta.
Per questo tentavo di dare un significato positivo alla divulgazione scientifica.
> Sull'argomento ho scritto qualcosa anni fa:
> http://www.sagredo.eu/candela/candel81.pdf
> dalla fine di pag. 2 in poi.
Ho letto questa tua cosa.
Ho pensato, anche se la mia valutazione poco qualificata non è significativa, che tu sia bravo.
Received on Tue Dec 28 2021 - 10:25:12 CET