Re: Già che ci sono: principio delle geodetiche e principio di equivalenza

From: Christian Corda <cordac.galilei_at_gmail.com>
Date: Fri, 22 Jul 2022 01:01:46 -0700 (PDT)

Molto interessante. Dal mio punto di vista, dipende da che principio di equivalenza usi. Se usi solo metà del principio di equivalenza hai sicuramente ragione tu. Ma se uno premette, come ho fatto io nel mio lavoro in cui uso la dimostrazione di Weinberg, "assumiamo la validità del Principio di Equivalenza di Einstein (cioè quello intermedio), allora stai anche assumendo che le equazioni del prim’ordine valide nello spazio di Minkowski valgano anche nelle teorie metriche sostituendo la derivata ordinaria in coordinate Minkowskiane con quella covariante (è una frase brutta come dici, infatti non l'ho scritta esplicitamente)". Non so che premessa abbia usato Wikipedia. Altra osservazione, io avrei scritto la frase "Questa è un aggeggio matematico che si ha ed è unico quando si pensa lo spazio tempo della RG come dotato della solita metrica Lorentziana." Con "Questa è un aggeggio matematico che si ha ed è unico quando si pensa lo spazio tempo delle teorie metriche come dotato della solita metrica Lo
rentziana. "

Cari saluti,
Christian Corda

On Thursday, 21 July 2022 at 16:30:04 UTC+2, valter...._at_unitn.it wrote:

> Ciao a tutti, sono a casa in isolamento covid, per cui posso scrivere un po’ qui (ufficialmente sono in malattia come coordinatore del dottorato per cui mi lasciano in pace, d’altra parte ho 38,3 di febbre).
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> Elio mi aveva posto una questione interessante che, da quanto leggo su Wikipedia, salta fuori da una “dimostrazione” sul Weinberg di rel gen. Guadare la pagina geodesic in general relativity di Wikipedia.
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> Si tratta di due affermazioni, una più fisica e l’altra più matematica e si sostiene che la prima implichi la seconda. Non ho a casa il Weinberg, ma la prova su Wikipedia ha un bel buco logico ed è un bel non sequitur.
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> La proposizione più fisica è il principio di equivalenza (metà di esso): nell’’intorno di un evento possiamo “annullare” il campo gravitazionale studiando il moto di una particella in caduta libera semplicemente scegliendo coordinate locali furbe. Matematicamente: in tali coordinate, quando il punto passa esattamente per il centro delle coordinate spazio temporali, l’equazione del moto di esso coincide con quella che si avrebbe in relatività speciale in assenza di gravità.
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> La proposizione più matematica, il postulato delle geodetiche, consiste invece nel postulare che le linee di universo delle particelle soggette al campo grav sono geodetiche (di tipo tempo per corpi massivi), rispetto alla cosiddetta *connessione di Levi Civita*. Questa è un aggeggio matematico che si ha ed è unico quando si pensa lo spazio tempo della RG come dotato della solita metrica Lorentziana.
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> Orbene su Wikipedia si dichiara che la prima proposizione implichi la seconda. Tuttavia se leggete la dim si arriva solo a dire, in base al principio di equivalenza, che le storie dei corpi in caduta libera sono geodetiche *ma non rispetto alla connessione di Levi Civita*, bensì rispetto ad una certa connessione simmetrica che si costruisce (la costruzione è fondata matematicamente) dal principio dì equivalenza.
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> Quindi bisogna *ancora* provare che la connessione trovata è quella giusta. Per certi risultati matematici noti, questo è equivalente a richiedere che la derivata covariante della metrica rispetto a questa connessione costruia da Weinberg sia zero.
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> Su Wikipedia c’è questo buco bello grosso che bisogna chiudere. Mi sembra incredibile che nessuno se ne sia accorto. Se l’ha scritto Weinberg il buco c’è comunque, anche se ha preso il nobel. Magari sul libro è più chiaro.
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> Non si può usare un argomento puramente matematico per tappare il buco perché esistono connessioni simmetriche non metriche su ogni varietà con metrica. Per cui da matematici ci sono controesempi. Ci vuole un argomento fisico, che sinceramente io non vedo.
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> Andando avanti con il formalismo si potrebbe usare un *principio di equivalenza forte* (le equazioni del prim’ordine valide nello spazio di Minkowski valgono anche in GR sostituendo la derivata ordinaria in coordinate Minkowskiane con quella covariante). A me sembra estremamente brutto fare così. In ogni caso bisogna aggiungerlo.
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> È importante invece osservare che se si assume che le storie di particelle soggette al campo grav, in GR, siano geodetiche di Levi Civita, allora il principio di equivalenza (la metà considerata) è banale e si può anche formulare in modo fisicamente più preciso (coordinate normali attorno ad una geodetica).
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> Ciao,
> Valter
Received on Fri Jul 22 2022 - 10:01:46 CEST