Vedro', se potro', di risponderti. Non prendertela pero'
se le risposte arrivano tardi: mi dovrei (il condizionale
e' d'obbligo) laureare a novembre e in questo periodo sono
piuttosto preso (colpa del fortran 90 maledetto).
> > ti avvicini quanto vuoi allo zero), rimangono percio'
> > solo delle componenti "oscillanti".
> > Queste componenti possono essere scritte, in modo del
> > tutto generale come sovrapposizione di un insieme
> > numerabile di onde stazionarie.
> ...
> Questo puzza di serie di Fourier. Mi puoi fare un esempio
> e/o fornirmi qualche puntatore a testi che trattino
> il problema in modo finalizzato?
Qualunque testo di metodi matematici per la fisica.
Se devo tirare un nome a caso, mah, il Bernardini, ad es.
Un testo vecchissimo e su cui suicidarsi e' il "Courant -
Hilbert" (i nomi degli autori ti fanno capire perche'
esista ancora in circolazione)
Pero' anche un qualsiasi testo di analisi due va bene.
Comunque a grandi linee la faccenda sta come segue
(non so se mi ricordo bene)
Se f e' una funzione periodica di periodo 2Pi e
integrabile secondo Lebesgue allora puoi calcolarne
i coefficienti di Fourier come
a0 = 1/Pi * Integrale[f(x)dx, da 0 a 2 Pi]
an = 1/Pi * Integrale[f(x)cos(nx)dx, da 0 a 2 Pi]
bn = 1/Pi * Integrale[f(x)sin(nx)dx, da 0 a 2 Pi]
e la serie di Fourier:
F(x) = a0/2 + Somme(an*cos(nx)+bn*sin(nx))
converge uniformemente; inoltre F differisce da f al
piu' su un insieme di misura nulla.
In sostanza F ed f sono la stessa cosa.
Le funzioni {1, sin(nx), cos(nx)} sono un sistema
ortogonale che consente di scrivere come serie
"pressoche' ogni funzione"
(detto in altri termini: i fisici applicano la cosa
ad occhi chiusi tanto se ne fregano dei casi che non
funzionano e in genere gli va bene. Esiste per questo
un criterio di calcolabilita' molto grazioso riportato
da Fano in un suo libro, il criterio di incondizionata
convergenza che cosi' recita: "Nei calcoli di fisica
tutte le serie convergono uniformemente". Questo
"criterio" e' stato in origine formulato da un
matematico piuttosto disgustato dalla "disinvoltura"
dei fisici nei loro calcoli).
Quindi una generica funzione periodica (o su un
dominio finito, quale ad esempio la scatola) puoi
scriverla in serie di Fourier. Questa operazione,
all'apparenza inutile, consente di risolvere facilmente
alcune equazioni differenziali.
Questa versatilita' e' dovuta al bel comportamento di
seno, coseno e costante sotto l'operatore di derivazione.
In pratica un'eq. differenziale a coefficienti costanti
si converte in un sistema di equazioni algebriche.
Nel caso dell'equazione da risolvere per i campi nella
scatola le equazioni sono tutte disaccoppiate perche'
seno e coseno sono di fatto i modi del campo (la butto
molto semplicistica) nel senso che i modi del campo
hanno una modulazione spaziale sinusoidale lungo ciascuna
delle tre direzioni coordinate.
> > Ritorniamo invece ad un fotone solo e ramingo dentro
> > alla scatola. Per cercare di descriverlo ....
> ...
> > Mentre "quantizzavamo" le nostre onde stazionarie
> > abbiamo automaticamente cambiato lo status sociale dei
> > nostri campi da quello di funzioni dello spazio (e del
> > tempo a valori in R3 ecc. ecc.) in oggetti ben piu'
> > complicati ...
>
> ti sarei grato se mi fornissi
> i soliti agganci (testi, pubblicazioni) con le solite
> raccomandazioni: testi con applicazioni finalizzate.
Vediamo, se lo trovi in una biblioteca (perche' costa uno
sacco) credo che possa andare il Cohen-Tannoudji
"Atom-Photon Interaction, volume 1". Dell'autore c'e' da
fidarsi: e' premio Nobel. Altrimenti, per avere piu' roba,
molto piu' compatta e con un orientamento altoenergetico
non so. Nomi che vanno sono il Mandl-Shaw, che e' recente,
o il Sakurai. Pero' bisogna che vedi tu quale ti si adatta
meglio. Alcuni libri sono quasi illeggibili anche per chi
si e' laureato.
> > Quindi l'aspetto dei "campi di un fotone" e' bellamente
> > diverso dalla nitida sinusoide che si diparte come un
> > capello
> ....
> Gi�, e come diverso? Torniamo alla richiesta appena fatta:
> testi che parlino di tale rappresentazione (Hamiltoniana?).
Di testi che trattino in particolare *questo* conto ho visto
solo il Loudon, ma non mi sono messo a cercare con il
lumicino. Non ho il testo sottomano e, francamente, non ho
volgia di rifare i conti. Il nome della rappresentazione non
e' Hamiltoniana, ma sono finezze. (La rappresentazione
hamiltoniana e' quella in cui si usano come funzioni di base
gli autostati della hamiltoniana che evolvono nel tempo come
exp(-2*pi*i*E*t/h). Spesso si usano basi diverse, ma sono
solo comodita' di calcolo, nulla di concettualmente importante)
Di testi che parlino di meccanica quantistica (mi par di capire
che e' questo che ti serve
) ce n'e' a bizzeffe. Uno tanto
completo e didattico quanto palloso e' dell'amico Cohen (due
volumoni: "Quantum Mechanics"). Uno esteticamente gradevole
e' il Sakurai "Modern quantum mechanics".
Sinceramente pero' mi sento di consigliartene uno di tipo
diverso e piuttosto recente: il Gasiorovicz (non mi ricordo
se si scrive cosi') "Quantum physics".
E' di una chiarezza sconfinata e di una bellezza tipografica
senza pari. Inoltre dice un sacco di cose. Pero' ad alcuni
non piace perche' e' un po' trafficone (non tira fuori tensori
controvarianti, algebre di Lie semisemplici o gruppi compatti
e paracompatti e amenita' del genere, come d'altra parte non
fa la maggiornaza dei testi iniziali di MQ).
Quasi dimenticavo: c'e' un altro premio Nobel piuttosto
famoso che ha scritto qualcosa di introduttivo sull'argomento.
Si tratta di Richard Feynman che, non me ne vogliano, e' il
piu' importante tra tutti i fisici citati sin'ora.
L'elettrodinamica quantistica l'ha inventata lui... Beh,
l'hanno inventata indipendentemente anche altre due persone,
tali Swinger e Tomonaga.
Swinger conosceva e detestava cordialmente Feynman. Chi sa se
si possono concepire due personalita' tanto diverse che
lavorano nel medesimo ambito.
Feynman un casinista, Swinger un virtuoso...
Vabbe' lasciamo fare.
Dicevo: nel terzo libro delle "Lectures" Feynman introduce a
modo suo i fondamenti della MQ ed e' una buona prima lettura.
> > > � lecito supporre che detto salto avvenga in un certo
> > > tempo "dt=t1-t0" e chiedersi quanto vale "dt"?
> >
> > Nei casi piu' normali si', e' lecito (in un qualche senso).
> > Esistono tuttavia casi....
>
> Mi potresti comunque indicare un range entro cui risiede
> detto intervallo "dt"?
> Se, ad esempio, il lambda del giallo � 600 nm, � lecito
> supporre
> dt = 1 / (300 x 10^6 / 600 x 10^(-9)) = 2 x 10^(-15) sec?
No, non e' lecito. Valori tipici sono di 10^(-8) secondi.
Per particolari processi (proibiti al primo ordine) il tempo
puo' essere parecchio piu' elevato, anche di qualche secondo.
Esiste una regoletta per calcolare la velocita' di decadimento
al primo ordine di uno stato eccitato di un atomo chiamata
regola d'oro di Fermi (in realta' la regola ha una validita'
molto piu' ampia e Fermi, che degli atomi se ne strafegava, la
usava per calcolare tutt'altro):
w(i->f) = 4Pi^2/h * |<i|V|f>|^2 * delta(Ef-Ei)
w(i->f) = velocita' di transizione da i a f
Pi = pigreco
h = costante di Plank
V = operatore di transizione
|i> = stato iniziale (ad es. atomo eccitato)
|f> = stato finale (ad es. atomo diseccitato piu' fotone)
Ei = energia dello stato iniziale
Ef = energia dello stato finale
delta = delta di Dirac
Per ottenere la velocita' di decadimento bisogna sommare le
velocita' di transizione su tutti i possibili stati finali
(cosi' la delta se ne va a spasso)
Ad es. se lo stato finale e' l'atomo nel fondamentale piu'
un fotone, i diversi stati finali si differenziano per il
fotone emesso (il cui stato dipende da energia e direzione
di emissione). Si ottiene cosi' una velocita' complessiva W,
il cui reciproco e' il "tau" di cui parlavo (decadimento
spontaneo). Per inciso la delta assicura che la transizione
avvenga a stati con la stessa energia dello stato iniziale
(e' una affermazione euristica).
Infine preciso che l'operatore di transizione V e' definito
come la differenza fra l'hamiltoniana per il sistema completo
(materia + radiazione) e la somma delle hamiltoniane per atomo
per i fatti suoi e per radiazione per i fatti suoi.
Il piu' delle volte si puo' approssimare V come un operatore
di interazione dipolare.
Ovvero se l'atomo e' composto di cariche {qi} con variabili
dinamiche {ri} (sono gli op. dei vettori posizione):
mu = Somme{qi * ri} (momento di dipolo elettrico)
V = - mu scalar E
dove E e' l'operatore di campo elettrico: il famoso campo
quantizzato.
Nello schema della scatoletta che ti ho descritto
l'espressione di E e':
E(r,t) = Somme(su j)[ i * sqrt(h * omj/L^3)*
*{ aj(0)*epsj * exp[ i(kj.r - omj*t)] -
- a+j(0)*epsj * exp[-i(kj.r - omj*t)] }
dove
i = unita' immaginaria
j = indice del modo
h = cost. di Plank
omj = pulsazione del modo j (= 2Pi * frequenza)
L = lato della scatola (considerata cubica)
sqrt = radice quadrata
epsj = e' il vettore di polarizzazione del modo
(dice in che direzione punta il campo)
kj = vettore d'onda del modo.
r = la posizione in cui calcoli E
t = l'istante in cui calcoli E
aj(0) = operazione di distruzione di un fotone
nel modo j (al tempo t=0, la dipendenza temporale
essendo stata esplicitata nella formuletta)
a+j(0) = operatore di creazione di un fotone nel
modo j (si legge "a croce gei" ed e' l'aggiunto
o hermitiano coniugato di aj(0))
con il punto in k.r ho voluto indicare il
prodotto scalare.
L'azione degli operatori a e a+ (specializziamoci
ad un particolare modo e dimentichiamoci j)
su uno stato ad n fotoni e' molto semplice:
a|n> = sqrt(n) |n-1>
cioe' "distrugge" un fotone
(a+)|n> = sqrt(n+1) |n+1>
cioe' "crea" un fotone
Se volessi usare la golden rule dovresti usare, nel
calcolo di V, il campo E senza la modulazione
temporale (Fermi ha gia' fatto i conti per noi...)
Se i modi in risonanza con la transizione che ti
interessa hanno una lunghezza d'onda molto
maggiore dell'estensione dell'atomo puoi
trascurare la modulazione spaziale exp(ik.r).
Inoltre, se la dipendenza esplicita dalla geometria
della scatola ti disturba (L^3) sappi che questa
dipendenza svanisce nell'integrazione sui modi
del campo (la densita' di modi e' proporzionale al
volume della scatola, e il campo figura al quadrato
nell'integrando), a patto che la scatola
sia abbastanza grande e lo sia uniformemente.
(Se pigli una cavita' che e' un lungo canale
con un diametro di qualche centinaio di nanometri
non si cancella niente e c'e' effettivamente una
dipendenza dalla geometria).
Ancora: l'espressione che ho riportato per E
temo si riferisca alla scatola con condizioni di
periodicita' al bordo (Born - von Karman) e non con
pareti perfettamente riflettenti. Poco male: il
risultato (probabilita' di transizione) alla fine
e' lo stesso.
Ancora2: la quantizzazione del campo nella scatola
e' la versione piu' semplice e i miei amici fisici
la chiamano "quantizzazione turistica", per
distinguerla dalla quantizzazione "seria", meglio
nota come "quantizzazione covariante", dove le
scatole si lasciano da parte.
> > l'integrale su questa superficie del prodotto
> > scalare del vettore di poynting ...
>
> Avrai gi� intuito che sto per chiederti...
> Si, proprio quello, grazie.
??? quello cosa ???
Ad ogni buon conto il vettore di Pointing e' (uso
il sistema di Gauss)
S = c/4Pi * (E vettor B)
e rappresenta il flusso di energia elettromagnetica;
e' un vettore.
Integrando su una superficie il prodotto scalare di S
per la normale uscente si ottiene la quantita' di
energia elettromagnetica che attraversa quella
superficie nell'unita' di tempo nella direzione della
normale uscente ("uscente" l'ho detto cosi', puoi
sceglierla come ti pare).
Ha un' interpretazione fluidodinamica semplice.
Prendi un liquido con un certo campo (vettoriale) di
velocita' v(r) e un campo scalare di densita' rho(r).
Considera una superficie S con normale uscente n(r)
(vettoriale) con r ristretto alla superficie.
Se integri su S il la funzione rho(r)*[n(r) scalar v(r)]
Ottieni la quantita' di massa che passa per la
superficie nell'unita' di tempo.
Se tieni presente che la densita' di energia del campo
elettromagnetico e'
u(r) = (|E|^2 + |B|^2)/8Pi,
che il modulo della velocita' dell'energia elettromagnetica
(nel vuoto) e' c e che la direzione e' quella di E vettor B
vedi bene che la formula per S e' del tutto naturale.
bye
Luca
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