Valter Moretti wrote:
> Elio Fabri wrote:
>
> > Valter Moretti ha scritto:
> > > ...
> > > In effetti la rotazione di Wick connette le due classi Lorentziane alle due
> > > Minkowskiane ed e` questo uno dei punti di vista per arrivare all'effetto
> > > Unruh oppure al teorema di Bisognano-Wickmann.)
> > Grazie di tutto, ma la frase finale mi e' oscura. L'effetto Unruh non mi
> > riesce nuovo, ma ho dimenticato che cos'e'. Il teorema che citi non l'ho
> > mai sentito nominare...
> > --
> > Elio Fabri
> > Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
> > Sez. Astronomia e Astrofisica
>
> L'effetto U. e' il seguente: se metti un campo nello spaziotempo di Minkowski
> nello stato di vuoto e poi prendi un detector e lo acceleri ad accelerazione
> costante (nel suo sisitema di quiete istantanea) allora lui "sente" un bagno
> termico di particelle ad una temperatura che dipende (mi pare che sia
> proporzionale)
> alla sua accelerazione.
(Continuazione)
Un altro modo di vedere la cosa e' quello di fare la teoria dei campi nel
cuneo
di Rindler (destro o sinistro) che e' una regione globalmente iperbolica.
Tieni conto che il detector accelerato e' in quiete nelle coordinate statiche
di Rindler.
Si costruisce lo stato di vuoto detto di Fulling-Unruh decomponendo le
soluzioni
dell'equazione di Klein-Gordon in parti a frequenza positiva e negativa
rispetto
alla coordinata temporale di Rindler e costruendo il propagatore di Feynman
esattamente come nel caso minkowskiano. Lo stato di vuoto costruito genera
uno spazio di Fock che non e' unitariamente equivalente a quello di Minkowski
ed
ha le sue "particelle".
La cosa notevole e' la seguente, se passi dagli stati puri a quelli misti,
scopri che
il vuoto di Minkowski ristretto al cuneo di Rindler e' uno stato termico (KMS
piu'
propriamente) e l'assenza di particelle minkowskiane corrisponde ad una
presenza
infinita di particelle di Fulling-Unriuh, la temperatura dipende
dall'accelerazione
dell'osservatore. Questo risultato e' in termini matematici, basati
anche su teorema GNS, il contenuto del teorema di Bisognano-Wichmann. Esiste
un
teorema successivo detto di Sewell che estende il risultato a teorie
interagenti e
non solo libere (tuttavia non mi ricordo ora l'enunciato preciso, dovresti
trovare tutto
sul libro di Haag "Local Quantum Physics" della Springer).
Esiste poi un teorema che generalizza in un certo senso questi risultati allo
spazio di
Schwartzschild provando che se c'e' uno stato con particolari simmetrie simili
a
quelle del vuoto di Minkowski (mi pare, anche qui dovrei controllare), allora
si tratta
di uno stato termico (KMS) con la temperatura di Hawking. Questo e' il teorema
di
Kay-Wald. Il teorema prova anche che in certi tipi di spaziotempo, tipo
quelli con metrica "ruotante" non possono esistere stati termici come quello
di Hawking...
Che c'entra tutto questo con le coordinate polari e cartesiane?
Ecco qui. Come saprai, in coordinate minkowskiane
puoi anche fare la teoria dei campi euclidea. Cioe' in riferimento alle
funzioni ad n punti euclidee e poi tornare nel Minkowski. Nello spazio
piatto, la teoria
euclidea e' ben fatta se soddisfa gli assiomi di Osterwalder-Schrader, che
assicurano che le
funzioni ad n punti ottenute prolungando nel tempo lorentziano quelle
euclidee soddisfano
gli assiomi di Wightman. Consideriamo per semplicita' solo le funzioni a 2
punti.
Le funzioni a 2 punti euclidee sono piu' maneggevoli per vari motivi, anche
perche',
prima di tutto sono di meno: ci sono solo funzioni di Green propriamente
dette, mentre nel
lorentziano hai le funzioni di Wightmann, il propagatore di Feynman e le
soluzioni
anticipate e ritardate (ovvero il commutatore). Le funzioni a 2 punti
euclidee determinano
con un prolungamento analitico nel tempo tutto il bestiario di funzioni a 2
punti lorenziane
in un colpo solo. La rotazione di Wick e' il prolungamento analitico e tra
le altre cose e'
quello che trasforma le coordinate minkowskiane in coordinate cartesiane
ortogonali.
La cosa interessante e' che la procedura di "rotazione di Wick" nel *tempo di
Minkowski*
commuta con quella nel *tempo di Rindler* e le due "rotazioni" producono due
sistemi
di coordinate sulla stessa varieta' euclidea: le coordinate cartesiane e
quelle, polari in
due coordinate in un piano di R^4 passante per l'origine e cartesiane nelle
rimanenti due.
L'angolo delle coordinate polari dette e' il "tempo euclideo Rindleriano".
Infatti nella legge
di trasformazione tra coordinate di Minkowski e quelle di Rindler si passa da
funzioni iperboliche
a quelle trigonometriche se il tempo di Rindler e' preso immaginario.
Tutto questo purche' si identifichino i punti sulla retta dei tempi euclidei
di Rindler che
differiscano per 2pi (con un fattore dipendente dall'accelerazione).
Altrimenti la varieta' euclidea ha una singolarita' conica e non puo'
risolvere ovunque le
Equazioni di Einstein della gravita' euclidee.
Uno puo' allora andare a studiare, dimenticandosi della teoria fisica, le
funzioni di
Green (cioe' l'inverso dell'operatore) di un operatore come -laplaciano +
massa^2
in R^4 e con qualche specificazione scopre che sono tutte figlie di quella
ben nota che
si annulla uniformemente a zero all'infinito e che diventa proporzionale a
1/r^2 nel caso di
massa nulla.
Questa funzione di Green e' necessariamente periodica rispetto alla
coordinata polare
angolare di cui sopra, perche' eredita questa invarianza dall'operatore di
Laplace
(e dalle condizioni all'infinito). La cosa notevole e' che quando torni al
tempo lorentziano
nel cuneo di Rindler in coordinate di Rindler, la periodicita' di questa
funzione di Green
si continua analiticamente in una condizione piu' complicata che altro non
e' che la condizione
KMS che stabilisce che lo stato (che e' il vuoto di Minkowski) e' uno stato
termico
rispetto al vuoto di Fulling-Unruh. Il periodo euclideo diventa l'inverso del
parametro
beta che compare nella distribuzione energetica degli einsiemi canonici (che
non e' proprio
l'inverso della temperatura misurata dal detector a causa della relazione di
Tolman, ma
differisce solo per un fattore legato al termine g_00 della metrica di
Rindler).
Spero che, ma temo che non, sia abbastanza chiaro, se vuoi notizie piu'
precise e
bibliografia... basta dirlo.
Ciao, Valter
Received on Tue Aug 08 2000 - 00:00:00 CEST
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