On 15.10.22 23:07, JTS wrote:
> On 15.10.22 17:52, Elio Fabri wrote:
>
>> Io non ne ho bisogno, perché quei risultati li conosco, per averli
>> insegnati per parecchi anni. Ormai molti anni fa, ma posso sempre
>> contare sui miei appunti:
>> http://www.sagredo.eu/lezioni/astronomia/p3c1rf.pdf
>> (bastano le prime 4 pagine e un po' di geometria analitica per
>> applicare le relazioni generali al caso particolare).
>> Con meno di questo il problema non si risolve. Attendo smentite.
>
> Ho fatto i calcoli usando la formula di gufetto e un programma per
> l'algebra (ma i calcoli si possono fare anche a mano, solo che io non ce
> la faccio :-) ); ottengo la tua (2/3)*w*v0^3/g^2.
>
> Dovrei anche chiarire a me stesso che senso hanno le approssimazioni che
> ho usato. Il buon senso (speriamo che sia buono) dice che la
> approssimazione è la stessa presente negli altri calcoli già fatti. Poi
> posto tutti i calcoli.
>
Poniamoci nel sistema inerziale solidale con l'orbita della Terra.
Partiamo dalla
v_t = (v R)/(R + h)
per la velocità tangenziale v_t, dove v è la velocità tangenziale della
Terra, R è il raggio della Terra e h è la quota. Questa credo sia esatta
per la conservazione del momento angolare.
Poniamo per il moto in direzione verticale
h = v0 t - 1/2 g t^2
dove v0 è la velocità iniziale in direzione verticale. Questa credo sia
un'approssimazione (non sto neppure distinguendo fra "verticale" e
"radiale"!), altri potrebbero essere più rapidi di me nel mettere le
cose a posto.
La quota massima si raggiunge al tempo t_Max
t_Max=v0/g
per trovare lo spostamento tangenziale (o laterale, visto che non
distinguo tra "radiale" e "verticale") faccio l'integrale
\delta x =2 \int_0^t_Max v_t dt
Lo faccio fare al programma, risparmiandomi di scomporre la frazione,
ottenendo
\frac
{2 r*v \log (1 + \frac {v0 + v0*(\sqrt{2 g*r + v0^2})} {g*r})}
{\sqrt{2 g*r + v0^2}}
Nello stesso intervallo di tempo la superficie della Terra si è spostata
lateralmente di
\delta x_T = 2 v t_Max = (2 v v0)/g
La differenza fra i due spostamenti sviluppata con Taylor al terzo
ordine in h (di nuovo con il programma) è
(2/3)*(v/R)*v0^3/g^2,
in cui riconosco v/R = w (velocità angolare) per ottenere la formula
ottenuta da Elio integrando l'accelerazione dovuta alla forza di Coriolis.
Prima ho sviluppato rispetto a R per R grande, poi ho pensato di
sviluppare rispetto a v0 (pensavo di poter ottenere lo stesso risultato
nei due casi perché il significato dell'approssimazione è altezza
massima piccola rispetto al raggio della Terra); nello sviluppare
rispetto a v0, siccome il risultato lo sapevo già, ho subito chiesto al
programma di sviluppare al terzo ordine.
Received on Sun Oct 16 2022 - 13:07:40 CEST