Re: Integrale

From: Marco Dalai <marco.79t23.dalai_at_gmail.com>
Date: Mon, 17 Oct 2022 15:05:47 -0700 (PDT)

Il giorno sabato 2 luglio 2022 alle 11:05:03 UTC+2 El Filibustero ha scritto:
> Dimostrare elementarmente (senza integrali ellittici) che, qualunque
> sia u in ]-1,1[,
>
> integrale{dt=0..arccos(u)} 1/sqrt(1+uu-2u*cos(t)) =
>
> integrale{dt=arccos(u)..pi} 1/sqrt(1+uu-2u*cos(t))
>
> Anche se non sembra, cio' puo' avere un'interpetrazione fisica. Ciao

Questa è ancora di interesse?

Dipende cosa si intende per "elementarmente". Una spiegazione convincente è abbastanza semplice.

I due integrali sono integrali su tratti di circonferenza unitaria (con t angolo all'origine) dell'inverso della distanza dal punto di coordinate (u,0).
Per simmetria dispetto a (-1,0) si vede che il secondo integrale non varia se sostituiamo gli estremi integrando da pi a 2*pi-arccos(u).


In questo modo si vede nei due integrali una simmetria rispetto al punto (u,0); una corda generica passante per (u,0) taglia la circonferenza in due punti con angoli uguali e ruotando in (u,0) di un angolo infinitesimo spazza tratti di circonferenza di lunghezza proporzionale alla distanza da (u,0) stesso. Poiché la funzione integranda è l'inverso della distanza il contributo sarà lo stesso nei due integrali.
(non so se si è capito, con un disegno è molto più semplice).

Purtroppo estrarre da questa osservazione dei passaggi analitici sembra essere un po' laborioso.
Comunque si può fare nel seguente modo:
- nel primo integrale sostituzione sqrt(...)=v
- nel secondo integrale sostituzione sqrt(...)=(1-u^2)/v

Si ottengono due integrali entrambi da (1-u) a sqrt(1-u^2) con delle espressioni polinomiali un po' complicate, sotto radice a denominatore, che si scoprono essere uguali (onestamente io per pigrizia l'ho verificato usando un software).


Il motivo delle sostituzioni è che geometricamente si vede abbastanza facilmente che ogni corda passante per (u,0) taglia la circonferenza in due punti che hanno distanze da (u,0) con prodotto costante pari a 1-u^2.

Ciao
m
Received on Tue Oct 18 2022 - 00:05:47 CEST