Re: Simboli di Christoffel simmetrici?

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 2000/07/27

Massimo Brighi wrote:

> Un momento,
> Se prendi come funzione f quella che
> (x^0,...,x^n) |--> x^j
> allora f non e' uno scalare e non e' neanche un
> tensore.

Allora, ripeto la dimostrazione con piu' dettagli.
Scelgo un sistema di coordinate arbitrario
sull'aperto A

x^1,...,x^n.

Questo significa in particolare
che esistono n funzioni *scalari *
x^1 : A -> R
.
.
.
x^n : A -> R

cha associano ad ogni punto p di A la corrispondente
coordinata.


A questo punto su A DEFINISCO il campo scalare

f : p |-> x^k(p)

dove k e' *fissato*.
Non c'e' niente di male no? Non capisco cosa
obbietti!

Poi deve essere, se calcolo il commutatore delle
derivate covarianti in coordinate arbitrarie
z^1,...,z^n nel punto P nell'aperto A

D_p D_q f - D_p D_q f = 0

per quanto dice CORRETTAMENTE Landau:
posso sempre calcolare le derivate di sopra
in un sisitema di coordiante galileiane in X
ed in tal caso il secondo membro di sopra
e' nullo perche' il primo membro si riduce alle
derivate ordinarie e vale il teorema di Schwarz
(f e' C^2 almeno). D'altra parte il primo membro,
al variare degli indici p e q in tutti i modi
definisce le componenti di un tensore,
per cui, dato che le trasformazioni tra
tensori sono lineari omogenee
il risultato e' lo stesso in tutti i sistemi
di coordinate. A questo punto vado proprio a
prendere le coordinate iniziali x^1,...,x^n e
deve essere, esplicitando le derivate covarianti
in queste coordinate e notando che:
NELLE COORDINATE DETTE

f(x) = x^k

(cambiando coordiante f avra' la forma che
avra' tenendo conto che e' uno scalare)
ed eseguendo le derivate covarianti trovi
che (d indica la derivata parziale e ho messo la
parentesi attorno all'indice alto di delta per indicare
che NON e' un indice di componente tensoriale
e {a,bc} indica Gamma^a_{bc})

d_p delta^(k)_q - {r, qp} delta^(k)_r

- d_q delta^(k)_p + {r, pq} delta^(k)_r = 0

che tenendo conto che le due derivate sono nulle
perche' derivano costanti, significa

- {r, qp} delta^(k)_r + {r, pq} delta^(k)_r = 0

ossia

-{k,pq} + {k, qp} = 0 (1)


Facendo lo stesso ragionamento ridefinendo
f come

f(x) = x^h

con h diverso da k e per tutti gli indici possibili
arrivci a dire che la (1), nelle coordinate considerate
vale per tutti i k. Dato che le coordinate le avevo scelte
in modo arbitrario, ho provato la (1) in un sisitema
di coordinate arbitrario.

OK?

Mi pare ch hai un po' di confusione su come si
definiscono i tensori e gli scalari, pensaci un po' su.

Ciao, Valter
Received on Thu Jul 27 2000 - 00:00:00 CEST