Il giorno giovedì 22 dicembre 2022 alle 22:40:04 UTC+1 Elio Fabri ha scritto:
> Ho deciso di fare un esercizio di somma pazienza (e mi pesa, perché la
> pazienza non è la preminente fra le mie virtù).
[...]
Caro Elio, intanto grazie per questo post che mi ha permesso di districarmi un minimo nell'articolo in oggetto. Sono ormai passati quasi 40 anni da quando seguivo le tue esercitazioni di meccanica analitica e puoi immaginare quanto possa ricordare non avendo quasi mai avuto modo di riprendere quegli argomenti seriamente. Una cosa che mi ricordo è che con le storie di cambi di variabili ci si doveva andare coi piedi di piombo altrimenti si scivolava (almeno, io scivolavo) in un attimo.
Riprendo la questione perché, posto quanto detto sopra (cioè non mi ricordo quasi niente), a me parrebbe che ci debba necessariamente essere qualcosa di sbagliato nell'articolo di Chashchina Silagazde
https://arxiv.org/pdf/0802.2431.pdf
La (5) dà, per ogni k, un Dvec{u}/Dt=/=0 se V=k/r. Il che a me parrebbe sufficiente ad affermare che vec{u} non sarebbe una costante del moto quando invece il vettore di Hamilton, vec{u}, dovrebbe esserlo poiché, se V=k/r, lo sono sia vec{L} che vec{A}
vec{u}=(1/L^2) vec{L}*vec{A}
vec{L}=momento angolare
vec{A}=vettore LRL
*=prodotto vettore.
Va bene che poi la (9) darà un DeltaTheta nullo sul periodo, ma la variazione di Theta dovrebbe essere nulla su qualsiasi intervallo di tempo.
In sostanza, a me pare che Chashchina e Silagazde ottengano la (5) senza andarci "coi piedi di piombo" e questo li induca in errore.
Poiché dove mi trovo ora non ho a disposizione disposizione né il Landau né il Goldstein, mi sono affidato alla pagina wikipedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace-Runge-Lenz_vector
nella quale, subito dopo la frase
"The rate at which the LRL vector rotates provides information about the perturbing potential h(r). Using canonical perturbation theory and action-angle coordinates, it is straightforward to show[1] (cioè il Goldstein) that A rotates at a rate of",
si vedono un paio di formule che danno la omega (che sarebbe (1/u^2)vec{u}*Dvec{u}/Dt) mediata su un periodo T. Però ho l'impressione che quelle formule siano generalizzabili integrando fra t e t+eps (dando quindi la omega mediata su un intervallo di tempo lungo eps, quindi, per eps->0, la omega istantanea) e lì, seguendo il Goldstein, ho l'impressione che i conti siano stati fatti come Cristo comanda, e con un potenziale perturbativo h(r)=k/r, si ottiene un risultato nullo (per ogni k) a causa del fatto che *scompare la dipendenza da L* nell'espressione contenuta fra parentesi graffe, quindi sarà _at_{...}/_at_L=0.
È corretto quanto dico sopra?
> Elio Fabri
Ciao,
Bruno Cocciaro
Received on Sat Dec 24 2022 - 17:18:19 CET