Avevo scritto:
> Dovrei ora affrontare il secondo aspetto, ossia il caso quantistico
> (spin). Ma mi perdonerai se lo rimando a una prossima puntata :-)
Eccomi.
Avevo anche scritto:
> Il diagramma di cui parli non mi è nuovo, l'avevo già visto credo in
> una pagina di Whittle che non riesco a ritrovare.
Non ho ritrovato la pagina di Whittle, ma ho trovato invece un intero
corso di cosmologia di Piattella (che nonostante il cognome italiano è
brasiliano) e che nella sezione 2.2.4 riporta non uno ma tre diagrammi
di Whittle.
In realtà avrebbero potuto essere quattro :-)
Però tra i diagrammi di Whittle e quello di Z. (che non credo sia suo)
c'è una fondamentale differenza, che vedremo.
Ora dovrai armarti di pazienza, perché la spiegazione non potrà essere
breve...
Tutto si basa sul modello cosmologico oggi in uso, chiamato LambdaCDM
(Lambda per la costante cosmologica, poi Cold Dark Matter, che nessuno
ancora sa che cosa sia.)
Gli aspetti essenziali di questo modello sono:
- la geometria FLRW (Friedman, Lemaitre, Robertson, Walker) in cui le
sezioni spaziali sono omogenee e isotrope, quindi a curvatura costante
- la curvatura può essere positiva, negativa o nulla; la scelta è
lasciata alle osservazioni
- curvatura e sua variazione nel tempo sono riassunte in un'equazione
dall'aspetto semplice:
(1/a)(da/dt) = H_0*E(a). (1)
Qui a è il parametro di scala (che vale 0 al big bang, 1 al tempo
presente. a è funzione di t (espansione)
t è il tempo cosmico, va da 0 al big bang in su, fino al valore
attuale t0 che va ricavato dalle osservazioni (vedremo più avanti).
H0 è il valore attuale della costante di Hubble.
Infine c'è la funzione E(a), che riassume le caratteristiche del
modello, nel senso di frazione di densità delle varie componenti
(materia barioni, altra materia "freda", fotoni, neutrini ... e poi il
termine di curvatura e il termine cosmologico, anche chiamato "energia
oscura".
Uno specifico modello è caratterizzato dai valori di alcuni parametri
(Omega maiuscola con vari indici).
Una volta deciso H0 e i parametri in E(a), la (1) è un'eq. diff. del
primo ordine a variabili separabili, in linea di principio integrabile
col solo calcolo di un integrale.
Il problema è solo che a seconda di quanti e quali siano gli Omega
diversi da 0, sarà possibile o no esprimere a(t) con funzioni
elementari o magari speciali, come un integrale ellittico.
Per capire il famigerato diagramma basta accettare che la funzione
a(t) sia nota. In effetti la funzione a(t) entra nel diagramma di Z.,
sotto la forma della scala di t che figura in basso, e che non è
uniforme.
Infatti la scala è uniforme (lineare) in a, anche se di questo
parametro di scala non si parla mai esplicitamente.
Ora una digressione sullo spazio-tempo e le sue coordinate.
E' noto che lo spazio-tempo della RG ha 4 dimensioni: una temporale e
tre spaziali.
Quindi per individuare un punto (evento) occorrerà dare 4 coordinate.
Il sistema di coordinate è a scelta del teorico e la scelta dipenderà
prima di tutto dalle proprietà di simmetria dello spazio-tempo.
Dato che lo spazio di FLRW è omogeneo e isotropo, è naturale adottare
come coord. spaziali le cordinate sferiche: una radiale e due
angolari.
Sulle coord, angolari ci sono pochi dubbi: theta e phi, come di solito. E
grazie alla simmetria, nessuna grandezza importante del modello dipende
dalle coord. angolari, che quindi non appaiono mai (se non come misura
dell'angolo solido, in certi calcoli).
Invece la scelta della coord. radiale può essere varia, e corrisponde a
diverse definizioni di distanza.
Qui ne interessano due: la distanza comovente e la distanza propria.
La prima la indichiamo con r (distanza comovente dall'origine).
"Comovente" significa che questa distanza non risente dell'espansione.
Naturalmente gli oggetti reali presenti nell'universo hanno "moti
propri", che si aggiungono all'espansione generale. La coord.
comovente di un oggetto dotato di moto proprio cambierà nel tempo, ma
questo nello studio generale dei modelli cosmologici viene trascurato.
L'espansione senza moti propri viee chiamata "flusso di Hubble".
Attenzione: al posto di r si può trovare usata la lettera greca chi.
Chi usa questa convenzione può darsi che usi anche r ma con diverso
significato; qui non me ne curo.
Oltre alla distanza comovente si usa anche la "distanza propria", che
è semplicemente la comovente affetta dall'espansione: vale quindi
a(t)*r.
Non mi risulta che esista un simbolo consolidato per la distanza
propria. Qui userò s.
Riassumendo: dovremo usare due diverse cordinate radiali: la comovente
r e la propria s = a*r.
Rimane da parlare del tempo.
Ho già citato il tempo cosmico, indicato con t. Questo ha
un'interpretazione fisica semplice: è il tempo segnato da un orologio
"fermo", ossia che ha coord. comoventi che non variano.
E' anche utile un altro tempo, detto conforme e indicato spesso con
la lettera greca eta.
La definizione del tempo conforme è un po' più sofisticata: è legato
al tempo cosmico dalla relazione differenziale
dt = a*d(eta). (2)
Se è nota la funzione a(t) la (2) si può integrare (di nuovo basta un
integrale) e fornisce eta(t).
Qual è il vantaggio a usare eta? Lo si può capire solo guardando la
metrica FLRW, per es. scritta in coordinate comoventi::
c^2 d(tau)^2 = c^2 dt^2 - a^2(t)*(dr^2 + ...) (3)
dove i punti stanno per la parte angolare. Sostituendo ls (2) per dt si
ha
c^2 d(tau)^2 = a^2*(c^2 d(eta)^2 - dr^2 - ...)
ossia il parametro di scala diventa fattore comune, e la parte dentro
parentesi ha la forma della metrica di Minkowski della RR.
Questo aiuta in certi calcoli e semplifica l'aspetto dei grafici, ma
in cambio eta è meno intuitiva di t.
Mettendo tutto insieme, abbiamo 4 coppie di scelte per le coordinate:
r o s per lo spazio, t o eta per il tempo.
Ecco perché sopra avevo scritto che i diagrammi di Whittle avrebbero
potuto essere 4 :)
I diagrammi di Whittle sono comuni diagrammi cartesiani, che portano
(come sempre usa in relatività) la coord. spaziale in ascissa e quella
temporale in ordinata.
Un diagramma di Whittle non è che un diagramma dello spazio-tempo dove
si trascurano le coord. angolari.
Su quel diagramma si possono riportare diversi punti (eventi)
importanti o anche diverse curve, di cui la più importante è il
cono-luce passato dell'evento "qui e ora".
Cono? perché cono?
In realtà se ci riduciamo a una sola coord. spaziale il cono-luce si
riduce a una curva, mentre se pensiamo a 3 coord. spaziali avremo in
realtà un "ipercono": una ipersuperficie in uno spazio-tempo a 4
dimensioni.
A rigore i diagrammi dovrebbero ridursi a un solo quadrante, perché
tutte le coord. che usiano assumono solo valori positivi. Se troverete
invece anche valori negativi di r o di s, non è perché queste coord.
possano davvero essere negative, ma solo perchè sdoppiando in tal modo
il diagramma possiamo rappresentarci più curve migliorando la
leggibilità.
Per aiutare chi legge, ho messo in
http://www.sagredo.eu/temp
il file Whittle.pdf che contiene il diagramma (s,t); purtroppo la
qualità non è gran che.
Nel seguito farò riferimento a quella figura.
Sull'asse delle ascisse si legge la coord. spaziale s, in miliardi di
anni-luce (Gly).
Sull'asse delle ordinate il tempo cosmico in miliardi di anni (Gly).
Ogni punto del diagramma rappresenta un evento. In alto. al vertice
della curva rossa, c'è il presente (Here & Now).
Come ho già detto, tutti i punti che non sono sull'asse t sono
duplicati a destra e a sinistra.
La curva rossa a forma di pera è il cono luce passato del punto
(0,13.7) (raddopiata, come ho detto). Delle altre curve non parlerò.
Ricapitoliamo come si calcola quella curva.
In primo luogo si calcola a(t) dalla (1).
Separando le variabili:
(1/a)(da/dt) = H_0*E(a). (1)
H0*dt = da/[a*E(a)]
da cui
H_0*t = int[1/(a1*E(a1)),a1,0,a]. (4)
Nella forma generale di E(a) la (4) è un integrale ellittico, che non
è un problema per molti pacchetti moderni. Ma se si preferisce si può
sempre ricorrere a un'integrazione numerica.
Si ottiene così la funzione t(a), che per a=1 fornisce t0, il tempo
presente.
Invertendo si ottiene a(t), che però non appare nel diagramma. (Se in
E(a) si eliminano i termini di radiazione e di curvatura, l'integrale
diventa elementare, ma non entro in dettagli.)
Il cono luce è la geodetica nulla (di tipo luce) che passa per (0,13.7).
Usando la metrica (3) (per una geodetica nulla d(tau)^2 si annulla)
c*dt = -a(t)*dr
(il segno meno perché la luce converge in r=0, e la funzione r(t) è
decrescente; quindi dr/dt<0). Si ha
r(t) = = c*int[1/a(t1),t1,t,t0]
(ho usato la condizione r(t0)=0). Di nuovo, penseremo in generale a
un'integrazione numerica.
Così abbiamo ottenuto r(t). Per avere s(t) che è l'ascissa del
diagramma, basta moltiplicare per a(t):
s(t) = c*a(t)*int[1/a(t1),t1,t,t0].
Si noti che sebbene l'integrando diverga per t=0 (infatti a(0)=0)
tuttavia r(0) riesce finito; quindi s(0) si annulla, come si vede dal
diagramma.
Lo scopo di quanto precede era solo di mostrare che dietro a un
diagramma di Whittle c'è un po' di lavoro che non è facile spiegare a
chi non sa niente d'integrali ecc. E non è comunque facile seguire il
discorso, anche se uno ha presente tutto quanto occorre di Analisi
2...
Ora potrei finalmente mostrare che cosa c'è nel diagramma che chiamerò
di Z., in che cosa esso differisce da quelo di Whittle.
Ma per oggi ho scritto abbastanza; il seguito a un'altra puntata.
--
Elio Fabri
Received on Mon Dec 26 2022 - 11:09:33 CET