Avevo scritto:
> Ora potrei finalmente mostrare che cosa c'è nel diagramma che
> chiamerò di Z., in che cosa esso differisce da quelo di Whittle.
> Ma per oggi ho scritto abbastanza; il seguito a un'altra puntata.
Terza puntata.
Posso finalmente descrivere il diagramma di Z., le sue differenze con
quello di Whittle, e commentare la spiegazione data da Z.
La differenza fondamentale e anche l'idea originale del diagramma di Z.
è di usare coord. polari anziché cartesiane.
Ma attenzione: questo viene fatto in un modo che ha solo un
significato matematico, non fisico. Infatti nel diagramma di Z. la
coordinata polare radiale rappresenta il parametro di scala a, mentre
la coord. angolare è la coord. spaziale comovente r.
Questo è lecito, ma con qualche riserva: infatti la sola richiesta che
si deve fare a un diagramma è che ci sia una corrisp. biunivoca tra
punti sul foglio ed eventi nello spazio-tempo (coord. angolari a
parte).
Se si rappresenta r su una circonferenza, forzatamente l'intervallo di
r rappresentabile è la lunghzza della circonf. e resta esclsa la
possibilità di rappresentare proprio il caso comunemente usato nel
modello cosmologico usualmente accettato, ossia quello in cui le
sezioni spaziali sono piatte e quindi r riempie tutta una semiretta.
Non è un difetto grave, perché in pratica interessanosolo porzioni
finite della ciconf., corrispondenti a porzioni finite dello spazio;
ma saebbe stato opportuno segnalarlo.
Per quanto riguarda a, la scelta di non usare t come coord. temporale
è nascosta dal fatto che in ascissa (in basso nella figura) sono
riportati dei numeri che si riferiscono al tempo cosmico; però la
scala non è lineare, appunto perché è lineare in a, che non è funzione
lineare di t.
Passando a r, è indicato dai numeri lungo l'arco di cerchio viola a
destra. I numeri tra parentesi sono invece le coord. s (distanza
propria) dei punti lungo la curva formata dalle frecce blu (cono
luce).
Facendo i rapporti (numeri tra par.)/(numeri senza par.) si ottengono i
valori di a:
0.90 0.77 0.75 0.69 0.63 0.57 0.50 0.43
Com'è giusto, a decresce man mano che ci si allontana dal tempo
presente.
L'idea ingegnosa di questo diagramma è che se si porta r come angolo
e a come distanza radiale, l'arco di circonf. corrispondente a un dato
a misurerà la distanza propria s.
Però la relazione fra a e t bisogna conoscerla in partenza,
altrimenti il diagramma non si fa.
E la detta relazione si ottiene dalla (1), di cui non ho spiegato
l'origine.
La (1) deriva direttamente dalle eq. di Einstein, che hanno forma
assai complicata in generale, ma per il particolare spazio-tempo di
FLRW si riducono appunto alla (1) (più un'altra eq. per la pressione,
che qui non ci servirà).
Quindi tacere sulla (1) e su come si determina a(t) significa buttar
via gran parte della fisica.
Solo per completezza accenno che è stata fatta (non so più da chi) una
distinzione tra "cinematica cosmologica" e "dinamica cosmologica": la
prima, applicata al nostro problema, consiste nel fare l'ipotesi di
omogeneità e isotropia, scrivere la metrica di FLRW, poi assumere nota
a(t) e ricercarne le conseguenze osservabili.
La seconda (dinamica) comporta invece ricavare la (1) dalle eq. di
Einstein, fare ipotesi sui tipi di materia presenti nell'Universo,
esaminare la composizione dell'espressione E(a); discuterne i vari
termini e quindi risolvere la (1) per arrivare infine alla
determinazione di a(t).
Si potrebbe quindi dire: limitiamoci a fare cinematica, dando per nota
la funzione a(t).
Benissimo: basterebbe dirlo.
Quello che non va bene è nascondere completamente questa parte del
problema cosmologico. Tanto più che un testo divulgativo si rivolge a
lettori che non sono neppure in grado di sospettare l'esistenza del
problema.
E ora vediamo la spiegazione della fig. 2 che dà Z.
Partiamo da un punto (a,r) (ricordate che sono coord. polari!). Se
vogliamo passare ad (a+da, r+dr), dobbiamo mettere in relazione da e
dr. Però da nel grafico non c'è, ma c'è dt: quindi usiamo la (4)
c*dt = -a(t)*dr
da cui
dr = -c*dt/a. (5)
I valori di a li ho dati sopra; i dt sono quasi sempre 1 Gyr, quindi è
facile calcolare i dr in Gly.
Non riporto i numeri perché avrete già capito che questo modo di
procedere è assai difettoso, dato che consiste nel sostituire ai dt, dr
degli incrementi finiti e anche piuttosto grossi.
I numeri per r riportati sul grafico non sono stati ottenuti così, ma
da una più accurata integrazione numerica della (5).
(O almeno così credo...)
Non ci sarebbe voluto molto a spiegare questo punto, ma Z. non ne
parla affatto.
Purtroppo la spiegazione di come si costruisce il cono luce è ben
peggiore: pretende di seguire un procedimento fisico che - detto senza
peli sulla lingua - non ha alcun senso.
Qui per farmi capire debbo riportare una lunga citazione di Z.
====================================
Consideriamo la Fig. 2 e cominciamo a studiare la luce inviata 4
miliardi di anni dopo il Big Bang dalla galassia rappresentata dalla
sferetta gialla.
Essa, ovviamente si dirige verso di noi nello spazio relativo a
quell'istante temporale e viaggia lungo la freccia rossa. Se non ci
fosse espansione essa ci raggiungerebbe senza "intoppi" e la distanza
tra la galassia e noi sarebbe uguale all'arco di cerchio marrone tra
le sferette gialla e blu. Potrebbe essere espressa correttamente in
anni luce, ossia in spazio percorso dalla luce per andare dalla
sferetta gialla a quella blu. Purtroppo, però, mentre la luce descrive
lo spazio indicato dalla freccia rossa, lo spazio si è espanso e dopo
un miliardo di anni è diventato una circonferenza con un raggio
maggiore. La luce è costretta, quindi, a viaggiare anche lungo la
freccia verde (che rappresenta l'espansione dello spazio). Come
conseguenza il suo moto sarà descritto dalla freccia blu (somma di due
vettori).
====================================
Questo brano è semplicemente incredibile, per il fraintendimento non
della cosmologia o della RG, ma di uno strumento base della fisica più
elementare: i diagrammi spazio-tempo.
Per cominciare, non c'è nessun "moto" nello spazio-tempo: che sia un
corpo materiale o la luce, esso/essa si muove *nello spazio*, con le
sue posizioni parametrizzate dalla cordinata tempo. Perciò a ogni
oggetto esistente nell'universo corrisponde una linea, una curva,
variamente detta "linea oraria" o "linea d'universo": quella blu nella
figura.
Quindi la "somma di due vettori" ci cui parla Z. non ha il minimo
senso.
Quello che è vero è che la linea oraria è fatta di punti dello
spazio-tempo, ciascuno dei quali corrisponde a un evento: la luce si
trova in un dato luogo a un dato tempo.
Si tratta di vedere come si passa da un punto a un altro vicino,
mediante la coppia (dt,dr) di cui ho già detto. Questo lo fa la (5),
*se si conosce la funzione a(t)*- Ma di questo ho già detto.
Ma tutto ciò non è peculiare della RG o della cosmologia; ci si trova
nella stessa situazione si vuole tracciare il diagrama spazio-tempo di
un moto qualsiasi.
Abbiamo due coordinate in un piano, per es. x e t; se si conosce la
funzione x(t) la cosa è semplice: per vari t si segna il punto
(t,x(t)) e poi si uniscono i punti con una curva.
Se invece x(t) non è nota, ma è invece nota la v(t) (velocità
istantanea in funzione del tempo) si può procedere a una *integrazione
grafica*.
Scelto un punto (t,x) si passa al successivo (t+dt,x+dx prendendo dx =
v(t)+dt.
La (5) dice la stessa cosa:
dr/dt = -c/a(t).
Rispetto al caso elementare (e ai diagrammi di Whittle) c'è solo la
differenza che al posto di t si usa a. C'è il vantaggio di avere
rappresentata la distanza propria s=a*r, ma c'è lo svantaggio che le
frecce rosse non danno dr, ma ds.
Questa difficoltà si supera al modo seguente: dato a e dt, dalla (5)
si calcola dr, che viene marcato sull'arco viola.
Per es., se t = 4 Gyr e r = 14.30 Gly, si ha il tondo giallo.
La funzione a(t) (nascosta) dà a=0.5.
Preso dt = 1 Gyr, la (5) dà dr = -2 Gly, quindi r=12.30 Gly.
Si ottiene così il nuovo punto (5,12.30)
(Il grafico porta r=12.28 Gly perché come ho detto l'integrazione in
realtà è stata fatta in modo più accurato, non con quei lunghi passi
di 1 Gyr.)
La freccia rossa, apparente somma vettoriale di quella rossa e di
quella blu, è un *artefatto* aggiunto a posteriori, non il vero modo
come il calcolo procede.
In questo senso quel diagramma è un inganno, e l'intrpretazione
"fisica" data nel brano che ho citato ... è meglio non qualificarla.
E con questo credo di aver finito.
PS. Avrete notato, all'inizio del post precedente, una citazione
estranea.
Avrete anche capito che è stato un problema di copia/incolla.
Ma tanto quello che volevo dire si capiva lo stesso :-)
--
Elio Fabri
Received on Wed Dec 28 2022 - 12:36:50 CET