Re: Il nuovo Einstein

From: Giorgio Pastore <pastgio_at_units.it>
Date: Tue, 27 Dec 2022 13:39:26 +0100

Il 27/12/22 10:05, Christian Corda ha scritto:
> On Tuesday, 27 December 2022 at 01:05:03 UTC+1, Giorgio Pastore wrote:
> si
>> dimostra facilmente che la derivata temporale del vettore u, per un
>> campo centrale, si annulla se e solo se F_r è proporzionale a 1/r^2.
>> Pertanto, qualsiasi "perturbazione" alla forza proporzionale a 1/r^2 non
>> cambia la costanza di \vec u e quindi la non-precessione del moto.
>
>> Giorgio
>
>
> Non tieni conto della non trascurabile questione che la dimostrazione di cui parli in letteratura è sempre fatta in sistemi inerziali. Qui siamo in un sistema non inerziale e quindi non abbiamo un campo centrale come dici tu, ma un campo centrale perturbato.

Ci deve essere un evidente problema di comunicazione/interpretazione dei
termini.

Non so cosa sarebbe un campo che non è centrale ma centrale perturbato.
Indendi una peturbazione non-centrale? Non c'è, causa III principio. La
forza tra corpo 1 e 2 è lungo la retta che passante per entrambi. Quindi
anche la forza di 2 su 1 e quindi l'accelerazione di 1 che dà luogo alla
forza apparente. Se invece stai pensando a forze non-1/r^2, neanche, se
stiamo parlando della solita interazione newtoniana descritta nel
sistema non-inerziale. Se pensi che non sia cosi scrivi un'equazione
esatta che contenga termni non-centrali o non 1/r^2.

Ma visto che nel tuo messaggio resti sulle parole, passo alle formule
così ci sarà poco da aver dubbi. Il post sarà un po' lunghetto ma forse
può essere utile ad altri.

Cominciamo dalla questione sistemi inerziali/non-inerziali. Darò per
scontato che la scrittura delle equazioni del moto per il problema dei
due corpi utilizzando come variabili le coordinate del centro di massa e
quelle del moto relativo siano patrimonio comune. Richiamo solo che,
dati due corpi di massa m1 e m2 la cui posizione è data da due vettori
posizione \vec r1 e \vec r2 (in un sistema inerziale), le eq. del moto
nello stesso sistema inerziale possono essere riscritte senza
approssimazioni, mediante semplici combinazioni lineari delle equazioni
per \vec r1 e \vec r2, come

\vec R"=0

mu \vec r" = F_r \vec e_r [1]

dove R è la posizione del centro di massa (che quindi si muove di moto
rettilineo uniforme)
" indica la derivata seconda rispetto al tempo,
mu è la massa ridotta (1/mu = 1/m1 + 1/m2 )
F_r è la componente radiale della forza nel sistema inerziale (positiva
o negativa a seconda che la forza sia repulsiva o attrattiva)
\vec e_r è il versore nella direzione radiale (se \vec r è stato
definito come \vec r2 - \vec r1, \vec r punta da 1 a 2 e \vec e_r è il
versore corrispondente (\vec e_r = (\vec r)/|\vec r| = \vec r / r).

Punto importante da notare: l'eq. [1], ottenuta "algebricamente"
lavorando sulle due equazioni del moto per \vec r1 e \vec r2 nel sistema
inerziale, descrive cinematicamente il "moto relativo" del corpo 2
rispetto al corpo 1.

Ancora più notevole, la descrizione del moto relativo non è solo
cinematica ma anche dinamica in quanto la stessa equazione [1], senza
introdurre nessuna approssimazione, è la stessa che si ottiene come
equazione del moto del corpo 2 nel sistema di riferimento non-inerziale
solidale col corpo 1 (e non ruotante rispetto ad un sistema inerziale).
Basta introdurre la cosiddetta forza apparente ovvero l'effetto
dell'accelerazione del corpo 1 dovuta alla forza che 2 esercita su esso.

Ancora un po' di cose da tener presente. Mentre la "massa inersiale" in
[1[ è la massa ridotta, F_r per un problema newtoniano di masse
puntiformi o sfere in interazione gravitazionale è sempre

F_r = -G*m1*m2/r^2 = - alpha /r^2 [2]

col segno negativo, per il carattere attrattivo.

Riepilogo fin qui:
------------------

A livello dell'equazione del moto [1], l'interazione tra corpo 2 e 1
nel sistema non-inerziale solidale col corpo 1 (e non ruotante) resta
una forza centrale (diretta da 2 a 1) esattamente uguale a quella del
sistema inerziale. Tutto l'effetto della forza apparente viene assorbito
nella presenza dell massa ridotta.

Cosa succede al vettore di Laplace-Runge-Lenz ?

Per un sistema descritto dalle equazioni [1] e [2]

\vec A = \vec v x \vec L - alpha \vec e_r , [3]

dove (questo è importante)

\vec v = \vec r' = d (vec r)/dt
\vec L = mu \vec r x \vec v.

Tenendo presente che la derivata temporale dei versore radiale è nella
direzione tangenziale:

d(\vec e_r)/dt = phi' \vec e_phi

e l'espressione di \vec v nella base delle direzioni radiale e tangenziale è

\vec v = r' \vec e_r + r phi' \vec e_phi,

nonché la conservazione del momento angolare per interazioni centrali, è
immediato verificare che

d(\vec A)/dt = (mu \vec v')x ( \vec r x \vec v ) - alpha d(\vec e_r)/dt
              = (- alpha /r^2 \vec e_r ) x ( \vec r x \vec v ) - alpha
phi' \vec e_phi

che, con un po' di algebra vettoriale e le espressioni per componenti di
\vec v risulta identicamente nulla.

Riepilogo fin qui:
------------------

Il vettore LRL definito in [3] risulta conservato nel sistema di rif
non-inerziale solidale col corpo 1. Tutte le usuali conseguenze
continuano a valere, in particolare, \vec A ha la direzione del semiasse
maggiore dell'ellisse e quindi la sua costanza implica la
non-precessione del perielio nel sistema non inerziale di cui sopra. Il
calcolo è non-perturbativo ed esatto, per il problema dei due corpi.

E' anche importante notare che, per la dimostrazione, è essenziale poter
sostituire a (mu \vec v') l'espressione della forza ( - alpha /r^2 \vec
e_r ). Un utilizzo inconsistente (p.es. perché basato su calcoli
approssimati) dell'equazione del moto darebbe una non-cancellazione tra
i diversi termini e quindi una non-conservazione (spuria) di \vec A.

Non-conservazioni genuine sono invece originate da interazioni centrali
diverse da 1/r^2

Stesso discorso vale per il vettore di Hamilton \vec u = \vec v - alfa/L
\vec e_phi. Per dimostrarne la costanza con equazioni del moto [1] e [2]
occorre tener presente le formule sopra utilizzate (e di nuovo il fatto
che l'accelerazione è propozionale alla forza via massa ridotta) e il
fatto che d(\vec e_phi)/dt = -phi' \vec e_r. Con pochi passaggi si
ottiene la conservazione del vettore di Hamilton per interazione [2] ne
sistema di rif. non-inerziale.

Eventuali obiezioni a quanto sopra dovrebbero indicare quale dei
precedenti passaggi contiene errori e quale sarebbe la versione
formalmente corretta. Stiamo parlando del calcolo esatto senza
espansioni per piccoli rapporti m2/m1.

Giorgio
Received on Tue Dec 27 2022 - 13:39:26 CET

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