Giorgio Pastore ha scritto:
> Mi hai preceduto.
> ...
Avevo scritto una risposta a Bruno Cocciaro, anzi credevo di averla
già inviata, ma pare di no, tanto più che non trovo il msg del
robomoderatore...
Nel frattempo sono apparsi questi due post di Pier Franco Nali e di
Giorgio Pastore, che mi obbligano a riscrivere completamente la mia
risposta.
Infatti questi ultimi due post mi hanno un po' confuso e preferisco
affrontare il problena a modo mio. Esiste pure una questione di
notazioni, che cambiano da un post all'altro...
Dato che io questi argomenti li ho insegnati per molti anni, a partire
credo dal 1968, e ci sono in rete appunti delle mie lezioni,
preferisco fare riferimento lì.
Userò notazioni TeX con abbreviazioni (macro) che uso da quando TeX
esiste. Forse disorienterò un po' chi conoce solo LaTeX, che in certi
punti differisce sensibilmente da plain TeX e a me piace poco, per cui
lo uso solo quando sono obbligato (per es. dalle regole di una
rivista).
Inoltre voglio ripetere e sottolineare che il problema di cui ora
state discutendo, posto da Bruno Cocciaro, ossia se il vettore di Lenz
(io sono abituato a chiamarlo così) o quello di Hamilton (che non uso)
siano o no integrali primi in presenza della perturbazione -k/r del
potenziale è un prolema *esclusivamente matematico*. Introdurre
considerazioni fisiche può solo creare confusione; in particolare
questo vale pe l'adozione di un rif. non inerziale.
Quindi io lavorerò esclusivamente nel rif. del centro di massa e
farò solo trasformazioni e considerazioni matematiche. La risposta a
mio parere va data così.
Per comodità di chi legge riparto da zero.
Abbiamo un sistema isolato formato da due corpi puntiformi (o estesi
ma a simmetria sferiche, che agli effetti gravitazionali è lo stesso),
di masse M e m.
Posso parlare, per sola comodità di presentazione, di Sole e Terra, ma
questo non va preso alla lettera, anche perché nel vero sistema solare
il Sole e la Terra non formano certo un sistema isolato.
Indico quindi con S e T i due punti, con G il loro centro di massa.
S G e T restano sempre allineati, con G fra S e T.
Definisco
\br_1 = GS \br_2 = GT \br = ST.
Spiegazione: \br è un'abbreviazione per {\bf r}.
(Mi pare che LateX usi una sintassi diversa: \mathbf{r}. Uno dei
tanti casi in cui LaTeX appesantisce la notazione.)
Preferisco usare il grassetto piuttosto che la freccia sopra (\vec r)
perché graficamente i simboli vengono sovraccaricati se poi si deve
aggiungere uno e due punti sopra per indicare le derivate rispetto al
tempo, oppure apici...
Userò abbreviazioni analoghe per altri casi: \bv, \bp, \bL ,,,
Per definizione di centro di massa M\br_1 + m\br_2 = 0.
Inoltre
\br_1 = -{m \over M+m} \br
\br_2 = {M \over M+m} \br.
(La notazione plain TeX {<A> \over <B>} con <A>, <B> due espressioni TeX
corrette, equivale alla forma LaTeX \frac{<A>}{<B>}.)
Le eq. del moto sono:
M \ddbr_1 = {GMm \over r^3} \br
m \ddbr_2 = -{GMm \over r^3} \br
(spiegazione: \ddbr_1 significa \ddot\br_1 ecc.)
Cancello M dalla prima eq. e m dalla seconda e sottraggo la prima
dalla seconda:
\ddbr = -{G(M+m) \over r^3} \br
che posso anche scrivere
\mu \ddbr = -{GMm \over r^3} \br
di cui si può dare la nota interpretazoine fisica (corpo di massa \mu =
Mm/(M+m) soggetto da parte di un punto fisso alla forza scritta a secondo
membro); interpr. che però qui non interessa.
Nel seguito introdurrò un'altra abbreviazione: \g per \gamma con in più
la definizione \g = GMm
Interessa cercare gli integrali primi, che in prima battuta sono i
seguenti:
E = \half \mu |\dbr|^2 - {\g \over r} (1)
\bJ = \mu \br \times \dbr (2)
\bL = \dbr \times \bJ - {\g \over \r} \br. (3)
Sono due vettori e uno scalare quindi in tutto 7 funzioni reali di \br
e \dbr: troppi per essere funzionalmente indipendenti. Infatti in un
problema con 3 gradi di libertà gli integrali primi (non contenenti il
tempo in forma esplicita) funz. indip. sono al più 5.
Dobbiamo quindi aspettarci 2 identità, e infatti:
\bJ \cdot \bL = 0
L^2 = \g^2 + {2 \over mu} E J^2.
La prima di queste dice che \bL sta nel piano dell'orbita; la seconda
ne fissa il modulo, una volta noti E e J.
L'interpretazione fisica di E e \bJ è nota. E è l'energia totale
(cinetica più potenziale) dei due corpi nel rif. del centro di massa;
\bJ è il momento angolare totale rispetto al polo G.
Quella di L è molto meno ovvia, e la enuncio senza dimostrazione:
L = \g e, (4)
ossia L (modulo) determina l'eccentricità dell'orbita (che è una
conica).
Si vede anche che il vettore \bL punta verso il perielio.
Ricordo che quando E<0 la conica è un'ellisse, di semiasse maggiore
a = {\g \over 2 |E|}. (5)
Dato che l'orbita è piana, possiamo lavorare in quel piano, il che
riduce il problema a 2 sole dimensioni.
Il nostro obiettivo è di capire che cosa succede nel problema
perturbato, ossia quando all'energia potenziale V = -\g/r si aggiunge
un altro termine (diciamo "piccolo"). Studieremo solo il caso di una
forza centrale, quindi il termine aggiuntivo a V sarà ancora funzione
soltanto di r.
Più precisamente, vogliamo capire che cosa succede se la perturbazione
ha la forma
V_1 = -k/r
ossia la stessa del potenziale imperturbato, ma con una diversa costante.
Quindi l'energia potenziale complessiva è
V + V_1 = -{\g + k \over r}.
Ed ecco il problema: dato che l'en.pot. è cambiata solo per una
costante, la soluzione trovata resta valida, nel senso che il moto
avverrà comunque su un'ellisse, quindi con orientamento fisso nel
piano. Quindi niente precessione del perielio, e sembrerebbe che gli
integrali primi trovati, in particolare \bL, restino integrali primi.
Invece c'è chi dice (Chashchina e Silagadze) che \bL non è più costante
e la precessione del perielio c'è: si annulla solo a intervalli di un
periodo.
In altre parole, che il perielio è affetto da un moto senza componente
secolare, ma con solo una componente periodica di periodo pari al
perido del moto imperturbato.
Poi c'è chi dice che Ch-S hanno sbagliato una formula e la precessione
ha anche la componente secolare.
Poi ci sono pareri opposti, secondo cui non c'è alcun errore e la
precessione secolare non c'è...
Il lettore si starà chiedendo come la vedo io, qualcuno pronto a darmi
addosso, altri a compiacersi della mia conferma ... ma io come la
vedo?
Risposta (senza spoiler ... ma che palle queste mode che imperversano
ovunque :-( ).
La precessione secolare non c'è, ma \bL non è costante del moto.
Le due affermazioni sembrano contraddittorie, ma abbiate pazienza un
momento.
Cominciamo a osservare le formule (1), (2), (3), che definiscono gli
integrali primi. Si vede subito che (1) e (3) contengono \g, mentre
(2) non lo contiene.
Ho osservato sopra che la perturbazione -k/r equivale a un cambiamento
di \g in
\g' = \g + k.
Se si fa questo cambiamento ridefinendo
E' = \half \mu |\dbr|^2 - {\g' \over r} (1')
\bL' = \dbr \times \bJ - {\g' \over \r} \br. (3')
non c'è alcun dubbio che nel sistema perturbato E' e \bL' sono
costanti del moto (su \bJ non c'è niente da dire).
Quanto al moto effettivo, dipende.
In un problema di meccanica il moto, data le legge di forza è
determinato una volta assegnate le condizioni iniziali, che nel nostro
caso sono \br(0), \dbr(0).
Date queste, qualunque funzione di \br, \dbr ha un valore iniziale
assegnato, che rimarrà costante se e solo se la detta funzione *in quel
problema dinamico* è un integrale primo.
Il fatto è che il problema imperturbato e quello perturbato sono due
problemi dinamici distinti e anche se li facciamo partire con uguali
condizioni iniziali i moti conseguenti saranno diversi.
Essendo sempre problemi kepleriani, avremo sempre treittorie
ellittiche, ma con diversa geometria dell'ellisse: asse maggiore,
eccentricità, e poi periodo e legge oraria.
Di più: non c'è alcuna ragione perché una data funzione debba essere
integrale primo in entrambi i problemi: Ciò che abbiamo visto ci
assicura che così sarà per \bJ, ma non per E e \bL.
Sappiamo invece che E, \bL come dati dalle (1), (3) sono integrali
primi del moto imperturbato, non lo sono per quello perturbato.
Viceversa E', \bL', dati dalle (1'), (3') sono integrali primi del
moto perturbato ma non di quello imperturbato.
Tutta la discussione nasce dal non aver capito questo.
Concentriamoci su \bL dato dalla (3). I calcoli di Ch-S si riferiscono
a questo ed è quindi giusto che non sia costante del moto.
Di più: essendo
\bL = \bL' + {k \over \r} \br
ed essendo \bL' costante, la variazione nel tempo di \bL sarà quella di
{k \over \r} \br.
In un calcolo perturbativo al primo ordine questa espressione viene
cacolata sul moto imperturbato, in cui il vettore \br è periodico col
periodo imperturbato P (inutile scrivere l'espressione).
Quindi la conclusione: \bL non è costante del moto, ma il suo valore
si ripete a ogni periodo. Non c'è alcuna perturbazione secolare.
(Notate che esattamente lo stesso discorso si poteva fare per
l'energia, quindi per il semiasse maggiore.)
Ci si può chiedere che cosa significa che \bL varia, ossia che il
perielio si muove? Il perielio si vedrà quando la Terra ci passa, ma
a tempi diversi che senso ha parlare del perielio?
Risposta. Sappiamo che \L definisce il perielio, in direzione e anche in
distanza dal Sole. La distanza al perielio (di solito indicata con q
vale q=a(1-e).
Se si misurano, in un istante qualsiasi, \br e \dbr, potremo calcolare
E con la (1), \bL con la (3); poi la (5) ci darà a e la (4) ci darà e.
Con ciò conosciamo il perielio dell'ellisse che la Terra percorrerebbe
nel moto imperturbato, partendo da quei dati \br e \dbr.
Se è presente la perturbazione, e se usiamo le formule del moto
imperturbato, a ogni istante calcoleriemo un perielio, ma il calcolo a
un tempo diverso ci darà un perielio diverso a meno che il secondo
istante non differisca dal primo per un multiplo del periodo
imperturbato.
Forse le cose da chiarire e precisare non sarebbero finite, ma mi
sembra di aver scritto un bel po'. Di sicuro è qualche ora che ci
lavoro...
PS. Aggiungo una curiosità fuori tema, che credo interesserà almeno
Bruno.
Silagadze è anche coautore di un articolo apparso da poco in
Eur.J.Phys., intitolato:
"Do moving clocks slow down?"
(arXiv:2209.12654v1)
L'ho scorso di volata e forse non sono d'accordo su tutto, ma è la
prima volta che vedo un articolo dove sono dette le stesse cose che
vado ripetendo da anni.
Certamente gli autori non hanno mai visto Q16 né letto niente di mio,
visto che non ho mai pubblicato altro che in italiano.
(c'è un mio articolo su Eur.J.Phys, ma è del 1994 e su altro
argomento, anche se sempre RG a livello elementare).
Comunque mi ha fatto piacere che qualcuno, magari nella lontana
Siberia, cominci a riscoprire certe idee :)
--
Elio Fabri
Received on Tue Dec 27 2022 - 17:51:25 CET