Re: equazioni differenziali II ordine

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 2000/02/16

Shinji-kun wrote:

> Non so come trovare le soluzioni particolari delle equaz. differenziali
> lineari non omogenee del II ordine a coefficienti costanti
> Es. ay'' + by' + cy = f(x)
> Grazie

Ti dico il metodo che avevo trovato io (in seconda superiore!).

Parti dall'equazione del prim'ordine:

y'+ay = f(x)

questa la scrivi

(D + a) y = f (1)

e la sai risovere:

y = exp{-ax} int egrale f(x) exp{ax} dx + C

dove C e' la solita costante arbitraria. Formalmente allora puoi scrivere
da (1)


 y = (D+a)^{-1} f dove PER DEFINIZIONE

 (D+a)^{-1} f := exp{-ax} int egrale f(x) exp{ax} dx + C (2)

C e' arbitraria.


Considera ora l'equazione

ay'' + by' + cy = f(x)

Questa la puoi riscrivere, se s e s' sono le due soluzioni di

ax^2 +bx +c = 0

come

(D+s)(D+s') y = f

da cui

(D+s') y = (D+s)^{-1} f

e quindi interpretando il secondo membro come detto in (2):

y = (D+s')^{-1} [ (D+s)^{-1} f ]


Il metodo si generalizza ad equazioni a coefficienti costanti di ordine
arbitrario purche' tu conosca le radici del polinomio associato.

 Ciao, Valter Moretti
Received on Wed Feb 16 2000 - 00:00:00 CET