Re: Integrale

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 2000/02/07

Janosch Lenzi wrote:

> Domanda I)
> Qualcuno sa risolvere velocemente questo integrale e darmi la risposta il
> prima possibile?
>
> Integrale tra + e - infinito di: (sen(x))^2 / x^2
>
> Il risultato � Pi greca.
>
> (Viene fuori dallo studio di potenziali periodici in teoria della radiazione
> in meccanica quantistica.)
>
> Grazie mille.

 Ciao, ti puoi ridurre subito all'integrale noto
di sin x/x che vale Pi greca.
Infatti la funzione sinx/x e' in L^2(R), allora
l'integrale di (sinx)^2/x^2 coincide con quello del
modulo quadro della trasformata di Fourier, che come
dimostri immediatamente scrivendoti sin x con la formula
complessa di Eulero e'

 f(k) = s [ sign (k+1) -sign(k-1)] Pi /[ 2i sqrt{2 Pi}]

essendo s = integrale da -oo a +oo si sin x/x = Pi
e sign e' la solita funzione segno.

A questo punto il calcolo dell'integrale di |f(k)|^2 e' istantaneo.

(Nel definire la trasformata di Fourier di g(x) metto il fattore 1/sqrt{2 Pi}
davanti all'integrale di g(x) exp{ikx} come fanno i Fisici)

Ciao, Valter Moretti
Received on Mon Feb 07 2000 - 00:00:00 CET