Il 03/04/2023 15:54, Elio Fabri ha scritto:
> Bisogna misurare degli oggetti, e qui l'oggetto è il cerchio fermo in
> K, che quindi ruota all'indietro in K0.
> L'oss. K0 poggerà dei regoli lungo la circonferenza in moto, e
> marcherà i punti A1, A2 ... An che *a uno stesso istante in K0*
> coincidono con gli estremi dei regoli.
> Se i regoli che sta usando hanno lunghezza poniamo 1 metro, dirà che circonf. in moto è lunga n metri.
Oh no. Non abbiamo Einstein a disposizione e certamente sopra Einstein
non spiega cosa intende con le parole "il regolo disposto lungo la
periferia subisce una contrazione di Lorentz" ma personalmente non credo
proprio che potesse intendere una cosa del genere. Non lo credo perché
quel modo di misurare è convenzionale (come lo sono peraltro tutte le
"misure" di distanza fra eventi "simultanei" in RR) mentre c'è un modo
decisamente migliore, in quanto *non convenzionale*, per misurare il
numero di regoli unitari disposti lungo la periferia del disco rotante
tramite misure effettuate in K! Periferia del disco che, mentre ruota,
passa proprio sul bordo del cerchio fermo in K. Sapendo che quei regoli
sono di lunghezza unitaria, per avere la lunghezza della circonferenza
in K0 tramite misure in K basta mettersi sul bordo e contare quanti ne
passano mentre il disco fa un giro. Io credo che Einstein intenda
quello: per sapere l'esito della misura della circ. in K0 non serve che
io vada in K0 perché quella misura posso indurla da misure fatte in K.
Se il tipo sul disco non ha marcato i punti a distanza unitaria lungo il
bordo (quindi da K non vedo i punti marcati e non posso conseguentemente
contare) non ci sarebbe problema, basterebbe marcare un solo punto P
(così da capire quando il disco ha finito di fare un giro) e misurare il
periodo T (tramite orologio fermo in K), poi si misura il raggio R del
disco quando lo stesso è in rotazione (con regoli fermi in K) da cui
abbiamo che, nel fare un giro, il punto P percorre una lunghezza pari a
2*PI*R (sempre misurata con regoli fermi in K).
Ora noi lo sappiamo che con le parole "un regolo lungo L che viaggia a
velocità v si "contrae" di un fattore gamma" intendiamo (o potremmo
intendere) che un orologio fermo in K che vede passarsi sopra il regolo
lungo L0 (lunghezza "propria") misura un intervallo di tempo pari a
dT=L0/(c*beta*gamma)
fra il passaggio dei due estremi. E con beta intendiamo (o potremmo
intendere) che se il regolo viaggiasse sempre alla stessa velocità
propria, lungo un qualsiasi tragitto chiuso lungo L, tornerà nel punto
di partenza in un tempo T con
beta=L/(c*T).
Siccome sia L=2*PI*R che T li possiamo misurare (in K) avremo che nel
tempo T passeranno sopra l'orologio un numero di regoli lunghi L0 pari a
T/dT = c*T*beta*gamma/L0.
La lunghezza (propria) totale L_tot (misurata in K0) dei regoli passati
sopra l'orologio in un giro sarà
L_tot = L0 * T/dT = L0* c*T*beta*gamma/L0 = 2*PI*R*gamma
dove anche R, ricordo, è misurato in K.
So che posso sembrare fissato con la storia della convenzionalità, però
direi che questo sia un tipico problema (probabilmente il migliore che
abbia mai visto per questo scopo) per mostrare che il *non* utilizzo
delle grandezze convenzionali possa semplificare molto la soluzione di
un problema. Soprattutto potrà aiutare a capire perché il discorso fatto
in K per determinare la misura in K0 non si potrà invertire e come si
dovrà quindi fare il discorso inverso.
Sopra ho usato sia beta che gamma che in realtà sono usualmente definiti
in maniera convenzionale, ma tutto quanto detto sopra si potrebbe
ripetere senza fare alcun uso di enti convenzionali. Li ho usati per
rendere più snello il post sapendo che pochi lettori sono avvezzi
all'uso di esclusivi enti non convenzionali.
> Per capire quanto vale questo numero, E. suggerisce di osservare il
> procedimento di misura da K.
> E. dice: quando si misura la circonf. abbiamo ora che questa è ferma,
> ma i regoli no e quindi si contraggono di un fattore gamma.
> Se anche i regoli sono fermi in K e lunghi 1 metro, il rapporto
> n/m = circ./diametro visto da K sarà pari a pi.
>
> Ma se osserviamo da K la misura fatta in K0, i punti A1 ... An sono
> lì, fermi e distanti 1 metro, mentre i regoli sono in moto, quindi
> contratti di un fattore g. Perciò on K n regoli lunghi n/g coprono la
> circ. Quanto al raggio non cambia niente e il rapporto misurato in K
> vale n/(g*m).
Sul fatto che quanto al raggio non cambi nulla io non capisco su che
base Einstein lo dica. Cambia eccome. In K ho un certo numero di regoli
unitari piazzati lungo un raggio e tutti si trovano nelle stesse
condizioni. In K0 ho in via di principio un altro numero di regoli
unitari che si trovano tutti in condizioni *diverse*. Più si allontanano
dal centro più sono soggetti ad accelerazione maggiore e tutti sono
soggetti a stress.
Poi, se abbiamo stabilito che in K0 ci sono n regoli sulla circonferenza
e m sul diametro, questo a me parrebbe un dato di fatto. Cioè (qui è
quando dicevo che non può esserci la magia) se K0 rallentasse fino a
tornare in quiete con K, sempre m saranno i regoli sul diametro e n
quelli sulla circonferenza. E questo prova che deve essere n/m=pi. Poi,
dal fatto che la *lunghezza* della circonferenza in K0 sia di n metri,
direi che segua che la stessa circonferenza (con K0 in rotazione) in K
sarà lunga n/g metri. Da ciò segue che la *lunghezza* del diametro in K
sarà n/(g*pi) metri. Cioè *anche* il diametro è "contratto". In K0 il
diametro è lungo m=n/pi metri, in K è lungo n/(g*pi) metri.
In tutta sincerità a me quanto dico sopra pare inattaccabile e
immaginavo che fosse comunemente accettato non so da quanto tempo, forse
già dal quel vecchio post di quasi 30 anni fa in cui mi dicesti che il
discorso sul disco rigido è ancora aperto e sia Landau che Einstein
avevano commesso errori nel trattare l'argomento. La questione aperta
immaginavo fosse se, facendo in K una "foto istantanea" (in
sincronizzazione standard) del disco in rotazione, i regoli che col
disco fermo erano allineati lungo un raggio risulteranno o meno ancora
allineati.
Ma sul fatto che un disco fatto di 100 regoli sul diametro e 314 regoli
sulla circonferenza rimanesse tale (con un rapporto fra i regoli pari a
pi) anche quando è in rotazione e che, se la circonferenza in K si
contrae di gamma una volta che il disco viene messo in rotazione allora
anche il raggio si contrarrà di gamma (anche se Landau e Einstein dicono
che non è così) proprio non immaginavo che potessero esserci dubbi.
Dubbi che, mi scuserai, ma sinceramente ancora non riesco ad immaginare
su cosa possano basarsi se non, eventualmente, sul fatto che regoli in
accelerazione potrebbero dare luogo a "stranezze", anche se non a magie.
Per questo dicevo che per capire a fondo la questione mi parrebbe
imprescindibile un modello su cosa sia un regolo in accelerazione. Mi
parrebbe imprescindibile anche solo per poter parlare di riferimenti in
accelerazione.
Tutto altro discorso poi, ovviamente, se diciamo che con la parola
"distanza" intendiamo qualcosa che ha a che fare coi regoli solo in
certe condizioni ma, in generale, intendiamo qualcosa che ha a che fare
con la luce e con il tempo che ci mette per andare e tornare da qui a lì.
> Però si può fare un altro ragionamento.
> Se in K0 si sono disposti n regoli (lunghi 1 metro e fermi) per
> coprire la circonferenza, vuol dire che i punti A1, A2, ... An distano
> 1 metro.
> Ma se distano 1 metro visti da K0, dove sono in moto e quindi
> contratti, la distanza propria, che si misura in K, sarà g metri e in
> totale la circonf. misurata in K sarà lunga g*n metri. Per il raggio
> abbiamo sempre m regoli.
> D'altra parte in K vale la geometria euclidea, quindi deve essere
> g*n/m = pi, ossia m/n = pi/g. Ma m/n è il rapporto misurato in K0, che
> è quindi *minore* che in K, mentre con l'altro ragionakento (di E.)
> risultava maggiore.
Qui non sono sicurissimo di aver capito cosa intendi, comunque, se ho
ben capito, la domanda dovrebbe avere a che fare con quanto accennavo
sopra e la risposta credo che sia da trovare nell'asimmetria fra il
fatto che K è inerziale e K0 no. Un po' come la storia del paradosso dei
gemelli che per un po' si può fare un discorso simmetrico ma alla fine
tutti concordano sul fatto che il viaggiatore sia più giovane.
Comunque, ora è tardissimo, spedisco così anche per non allungare ancora
di più il post. Certamente si dove trovare una risposta articolata e
convincente. Proverò a pensarci domani. Bellissima domanda (sempre se
l'ho ben capita). Grazie.
Ciao,
Bruno Cocciaro.
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Received on Tue Apr 04 2023 - 02:51:39 CEST