Re: Un piccolo esercizio di relatività (ristretta!)

From: Giorgio Bibbiani <giorgiobibbiani_at_TIN.it>
Date: Wed, 5 Apr 2023 14:49:12 +0200

Il 04/04/2023 22:43, Bruno Cocciaro ha scritto:
...
> Ad esempio un problema collegato a quello fornito da Elio potrebbe essere determinare l'andamento nel tempo (misurato da un orologio in quiete
> col ricevitore) di (l. d'onda ricevuta)/(l. d'onda emessa) con A sul bordo del disco in rotazione e B fermo nel riferimento K di quiete del
> centro del disco in un punto che sia anch'esso sul bordo del disco rotante (però B, ovviamente, non ruota, è fermo in K).
> Sia nel caso che sia A emettitore e B ricevitore che viceversa.

Usando le stesse notazioni di MTW che in precedenza,
sempre ragionando con le coordinate nel rif. del laboratorio,
sia t l'angolo azimutale istantaneo di A (emettitore) che
si muove di moto circolare uniforme, B (ricevitore) sia
fermo sul bordo della circonferenza all'angolo azimutale Pi,
il "redshift" è:

lambda_B / lamba_A =
(p^0 ua^0 - p.ua) / (p^0 ub^0 - p.ub) =
(p^0 ua^0 - p.ua) / p^0 =
ua^0 - p.ua / p^0 =
gamma_a (1 - beta_a sin(t/2)) se 0 =< t < Pi
gamma_a (1 + beta_a sin(t/2)) se Pi < t =< 2Pi,

a riprova per t = 0 si riottiene l'effetto
Doppler trasverso (dilatazione del tempo),
per t -> Pi l'effetto Doppler relativistico.

Scambiare i ruoli di A e B come emettitore e ricevitore,
senza variare i loro moti, equivale semplicemente a
scambiare i segni + e - nei termini tra parentesi
nelle ultime 2 eq.i sopra.

In ogni caso sopra, t è l'angolo che A come emettitore
ha spazzato quando emette un fotone che arriverà a B,
oppure l'angolo che A come ricevitore ha spazzato quando
riceve un fotone emesso da B.

PS lo scopo del procedimento di MTW è ricavare la formula
del "redshift" _senza_ utilizzare trasformazioni di
coordinate (di Lorentz) tra riferimenti inerziali, come
ad es. la formula della dilatazione del tempo, ma facendo
un ragionamento puramente geometrico; ovviamente chi fosse
interessato potrebbe leggere il paragrafo citato di
"Gravitation" ove l'argomento è sviluppato egregiamente :-).

Ciao

-- 
Giorgio Bibbiani
Received on Wed Apr 05 2023 - 14:49:12 CEST

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