Nel post precedente ho fatto un errore relativamente al calcolo della distanza infinitesima nella metrica di Langevin. Ho infatti scritto:
"Questa distanza si calcola nel seguente modo: si inserisce la condizione di geodetiche nulle ds=0 nella metrica quadridimensionale di Langevin è si risolve la corrispondente equazione per cdt. La distanza propria per un blip radar di andata e ritorno emesso da un osservatore di Langevin sarà allora la semi-differenza tra le due soluzioni, positiva e negativa, di cdt. Questo valore risulterà essere proprio l'elemento infinitesimo della metrica spaziale di Landau."
In realtà la semi-differenza tra le due soluzioni, positiva e negativa, di cdt va anche moltiplicata per la radice quadrata del coefficiente g_00 della metrica di Langevin. Quindi, riassuemendo:
Questa distanza si calcola nel seguente modo: si inserisce la condizione di geodetiche nulle ds=0 nella metrica quadridimensionale di Langevin è si risolve la corrispondente equazione per cdt. La distanza propria per un blip radar di andata e ritorno emesso da un osservatore di Langevin sarà allora la semi-differenza tra le due soluzioni, positiva e negativa, di cdt moltiplicata per la radice quadrata del coefficiente g_00 della metrica di Langevin. Questo valore risulterà essere proprio l'elemento infinitesimo della metrica spaziale di Landau.
Saluti,
Prof. C. Corda
On Monday, 10 April 2023 at 00:56:32 UTC+2, Christian Corda wrote:
> Il calcolo nel pdf linkato è corretto. Peccato però che tale calcolo non dica niente di nuovo. Usando la terminologia dell'autore del post e del pdf linkato, che nello spazio-tempo (finito) quadridimensionale definito dalla metrica di Langevin non esista nessuno spazio tridimensionale (finito) avente la metrica di Landau è cosa nota da decenni. Ciò che sembra non essere noto all'autore del post e del pdf linkato è che esistono infinite porzioni infinitesime dello spazio-tempo quadridimensionale definito dalla metrica di Langevin che ammettono infiniti spazi infinitesimali aventi la metrica di Landau. Che non si possano sommare questi infiniti spazi infinitesimali con un integrale per ottenere un unico spazio tridimensionale (finito) avente la metrica di Landau è proibito dal teorema di Frobenius della topologia differenziale che dice che tale sommatoria si può fare se è solo se il vettore vorticità è identicamente nullo. Ma il punto è che la trasformazione di Langevin introduce un vettore vortic
ità non nullo. E' questo dunque il significato fisico della metrica di Landau, dare una distanza, che risulta essere non-euclidea, ai citati spazi infinitesimali. Questa distanza si calcola nel seguente modo: si inserisce la condizione di geodetiche nulle ds=0 nella metrica quadridimensionale di Langevin è si risolve la corrispondente equazione per cdt. La distanza propria per un blip radar di andata e ritorno emesso da un osservatore di Langevin sarà allora la semi-differenza tra le due soluzioni, positiva e negativa, di cdt. Questo valore risulterà essere proprio l'elemento infinitesimo della metrica spaziale di Landau. Quindi, nonostante l'autore del post e del pdf linkato continui a sostenere (in questo ed in altri post) che lo spazio-tempo di Langevin è piatto, è alquanto evidente invece che lo spazio-tempo di Langevin è curvo. Questo si può vedere da un altro punto di vista facendo la seguente considerazione. La metrica di Langevin ha il coefficiente g_00 leggermente minore di 1. Ora, siccome
la trasformazione di Langevin conserva sia la coordinata temporale che quella radiale, ne segue che, essendo il tempo proprio di Langevin "de-sincronizzato" dalla sua coordinata temporale per via della famosa relazione che lega il tempo proprio di uno spazio-tempo alla coordinata temporale della metrica tramite il coefficiente g_00, anche un osservatore lorentziano che misura il tempo proprio lorentziano è de-sincronizzato rispetto agli osservatori rotanti di Langevin che misurano il tempo proprio di Langevin. Ossia, il tempo proprio lorentziano è uguale alla coordinata temporale lorentziana (il g_00 nella metrica di Lorentz è uguale ad 1) che è uguale alla coordinata temporale di Langevin, che è DIVERSA dal tempo proprio di Langevin. Quindi il tempo proprio di Lorentz è DIVERSO dal tempo proprio di Langevin. Questo spiega come mai il famoso "piccolo esercizio di relatività (ristretta!)", proposto dall'autore del post e del pdf linkato in un altro post, è tutt'altro che un esercizio di relativitÃ
ristretta, ma ha invece bisogno di un trattamento di relatività generale con relativo calcolo di integrali lungo la traiettoria della luce per essere risolto completamente, in quanto l'osservatore nel laboratorio misura il tempo proprio di Lorentz mentre gli osservatori rotanti misurano invece il tempo proprio di Langevin. Quanto alla questione più volte erroneamente ripetuta dall'autore del post e del pdf linkato, che "l'assenza di curvatura non viene alterata qualunque siano le coordinate usate", questo non vale relativamente alla trasformazione di Langevin, che, portando a risultati diversi (relativamente a tempi e distanze propri) in sistemi di riferimento diversi, di fatto rompe la covarianza generale. Come questo possa accadere non è del tutto chiaro, ma i risultati sperimentali ottenuti col rotore di Mossbauer confermano questa cosa. La mia idea personale, completamente da verificare (qui potrei dire una castroneria perché NON sono un matematico esperto di geometria differenziale, ma un fisico
teoico), è che la trasformazione di Langevin inserisca degli elementi di torsione, nel senso che, non solo per gli osservatori di Langevin il rapporto tra circonferenza e raggio è maggiore di 2 pi-greco, ma questo rapporto dipende dalla coordinata radiale. Come si sa, in presenza di elementi di torsione la connessione di Levi-Civita viene meno e quindi non potrebbe essere in grado di "gestire contemporaneamente" lo spazio-tempo di Langevin e quello di Lorentz, che risultano quindi due spazi-tempi diversi. Ma questa è solo un'ipotesi, eventualmente da approfondire e non necessariamente corretta.
> Buona Pasqua a tutti,
> Prof. C. Corda.
> On Friday, 7 April 2023 at 09:50:05 UTC+2, Elio Fabri wrote:
> > Ho scritto una nota sull'oggetto, dove dimostro che in un preciso
> > senso se uno spazio-tempo ammette la metrica di Langevin, allora non
> > c'è nessuno spazio per il quale valga la metrica di Landau.
> >
> > Trovate il pdf in
> > http://www.sagredo.eu/temp/sp-Landau.pdf
> > Commenti, inclusa la segnalazione di eventuali errori, sono graditi.
> > Lo stesso argomento del resto è già discusso, nelle mie "Lezioni di
> > Astrofisica relativistica e cosmologia":
> >
> > Di passaggio, per vedere che uno spazio avente la metrica di Landau
> > (intendo una varietà riemanniana di dimensione 2, presa in sé, senza
> > nessuna considerazione su sua interpretazione fisica) è curvo,
> > basta osservare che una circonf. r=R ha raggio R e lunghezza
> >
> > 2pi*R/sqrt[1 - (w*R/c)^2].
> >
> > Questo però non ha niente a che vedere con la domanda se uno
> > spazio-tempo con la metrica di Langevin sia piatto o curvo.
> > Un tale spazio-tempo è piatto, e trovo incredibile che se ne debba
> > discutere.
> >
> > --
> > Elio Fabri
Received on Mon Apr 10 2023 - 18:30:41 CEST