R: Chiarimenti sugli spazi multidimensionali...

From: Fabio Ceccarelli <fabio1_at_linet.it>
Date: 1999/08/04

> Tra l'altro nel tuo post non compare la distinzione tra basi coordinate e
> non ... questo lo aggiungo per metterti la pulce nell'orecchio, che
> perlomeno le cose sono un tantinello piu' complicate di come le pitturi tu
:)

Sicuramente hai ragione tu... ma sono poco convinto dalla trattazioni
complicate e astruse. Mi sembra che la fisica negli ultimi vent'anni non
c'abbia regalato un gran che in termini di scoperte scientifiche; insomma la
rivoluzione che si � verificata all'inizio del nostro secolo perch� non si
ripete? Forse perch� non abbiamo pi� nulla da scoprire? Non credo. Io penso
(ma questa � solo una mia opinione personale) che la fisica ha imboccato un
vicolo cieco, cio� quello dell'astrusit� matematica. Ho notato che molti
fisici fanno "spallucce" ad una ipotesi che non usa la matematica d'un certo
livello. Forse � che molti si sono abituati alle trattazioni della meccanica
quantistica e di quella relativistica e pensano che si potr� scoprire
qualcosa di nuovo soltanto con delle trattazioni estremamente complicate.
Uno di questi (per esempio) era W. Heisenberg che diceva che "strutture del
genere (riferendosi a una teoria sulle dimensioni superiori) � poco
probabile possano essere descritte in maniera chiara, non foss'altro per il
fatto che non avrebbero un loro chiaro posto nel mondo oggettivo delle
cose".
A quanto pare non solo lui la vede in quel modo :-)

> > A questo punto mi sono chiesto: ma che cos'� l'ortogonalit�? Ed inoltre:
�
> > possibile estendere il concetto di ortogonalit� ad uno spazio ad "n"
> > dimensioni?

> Guarda, se e' solo questo che ti serve, te lo dico subito: si', e'
> naturalmente possibile, soprattutto se per spazio intendo uno spazio
> vettoriale (altrimenti si entra in una *piccola* complicazione che per ora
> non intendo approfondire ...); quando in fisica (o in matematica,
naturalmente) si parla di ortogonalita'*, e' perche' si e' definito in
precedenza quello che si
> chiama un prodotto scalare; questo non e' niente altro (si fa per dire)
> che una generalizzazione delle *proiezioni ortogonali*

peccato che per applicare il prodotto scalare devo conoscere l'angolo
formato dai due vettori... e questo non mi sembra il nostro caso :)
E' per questo che ho dovuto abbandonare la classica impostazione del
prodotto scalare per una generalizzazione che prescinde dagli angoli...
altrimenti non ci sarebbe stato un motivo per cui mi dovevo complicare la
vita...

>>due o pi� dimensioni sono tra loro
>> ortogonali, quando dalla loro intersezione, lo spazio (di dimensione
"n") a
>> cui esse appartengono viene suddiviso in "2^n" parti uguali. ...

> No! Non e' nemmeno falso !

Qui ti sei espresso in modo incomprensibile... non capisco se vuoi dire "�
falso" o "non � falso". La doppia negazione � un modo un p� chiuso per
comunicare. Potresti essere pi� esplicito?

> Supponiamo che tu con dimensioni abbia voluto indicare delle rette che
> fungono da assi coordinati... allora la loro intersezione (di un numero
> qualsiasi di loro) e' sempre un punto

Sicuramente mi ero spiegato male. Quando due rette si incontrano nel piano,
lo suddividono in 4 quadranti... Se le rette sono ortogonali, questi
quadranti saranno a due a due uguali! Il resto di ci� che dici nasce
evidentemente da un fraintendimento.

Lo spazio che st� considerando � il piano (dimensione 2). Su di esso sono
rappresentate due rette. Se sono ortogonali, allora i semipiani saranno
uguali (� la stessa cosa di quando si applica il prodotto scalare. Dire che
il prodotto scalare fra due vettori non nulli � zero equivale a dire che fra
loro c'� un angolo di 90 gradi. Ma dire che fra due rette c'� un angolo di
90 gradi, oppure dire che esse suddividono il piano in quattro semipiani
uguali... � la stessa cosa!

> Poi pero' ti spingi anche piu' in la' !
> E cioe' affermi:
>
> > L'intersezione di tre rette (tra loro
> > ortogonali), suddivide lo spazio in 2^3 (otto) parti uguali.


Non mi sembra che abbia creato la confusione di cui stai parlando. Comunque
cercher� di spiegarlo in un altro modo. Prendiamo un cubo nello spazio a 3
dimensioni. Poniamoci in prossimit� di uno dei vertici. Supponiamo che gli
altri 7 vertici si allontanino da noi all'infinito. A questa struttura gli
diamo il nome di semispazio. Bene allora 3 rette poste nello spazio sono tra
loro ortogonali se dividono lo spazio in otto semispazi uguali.

> Chiaramente tutta la *induzione* che segue non ha valore in quanto basata
> su ipotesi false: in quanto tale, non lo commentero' (e forse e' meglio.)
> [snip]


> Beh, scusa se te lo dico, ma sbagliare grossolanamente le basi del
> ragionamente, e poi andare a preoccuparsi di queste finezze, mi pare un
> po' eccessivo, non trovi ?

Forse mi ero spiegato male in precedenza.

> Comunque, ti voglio ancora ricordare (nonostante quello che dici poi, cfr.
> poi), che la *geometria* che si usa in relativita' per trattare lo
> spazio-tempo (che e' un ente geometrico *inventato* dalla relativita'
> ristretta (e poi ereditato localmente da RG)) e' la *geometria di
> Minkowsky*!

Certo in relativit�! Quando ovviamente ci si trova in casi relativistici...


> > la geometria di Minkowski pu� approssimarsi con quella euclidea. Inolte,
per
> > quanto riguarda l'osservazione che mi � stata fatta circa l'uso della
> > geometria euclidea, laddove dovrebbe essere usata quella di Minkowski,
> > vorrei far notare che ponendo u=ict (i = unit� immaginaria; c = velocit�
> > della luce; t = tempo), il formalismo matematico che ne deriva dalla
> > geometria minkowskiana � identico a quello della geometria euclidea...
anche
> > se i concetti fondamentali sono diversi.

> Il formalismo matematico e' diverso, ed e' meglio che tu lasci perdere in
> questa nostra discussione *fatta a gesti* dei trucchetti formali come
> questo: la faccenda si fa davvero spinosa se non si puo' discutere usando
> il necessario linguaggio matematico.

Mi permetto di farti notare della mia stessa opinione � Max Born (premio
Nobel per la fisica 1954) che nel testo "La sintesi einsteiniana" edito da
Boringhieri (a pag.360, secondo capoverso) dice testualmente: "Servendosi
del simbolo sqrt (-1), possiamo scrivere u=ict, stabilendo cos� una
corrispondenza fra i valori immaginari di u e tempi reali t, per cui la
geometria non-euclidea nel piano xt, � formalmente identica alla geometria
euclidea nel piano xu".
Mi ricordavo di averlo letto da qualche parte e finalmente ho ripescato il
primo libro dal quale 10 anni or sono appresi per la prima volta la teria
della relativit�. Anche se la trattazione fatta da Born � alquanto
semplificata, questo non implica che sia errata.
Del resto concordo con ci� che dici... non � questo il luogo per una
trattazione approfondita.


> grazie per lattenzione
> bye mr

Sono io invece che ti ringrazio per avermi dedicato tutto il tuo tempo. Ad
ogni critica o correzione sar� sempre ben disposto a discuterla.

Ciao... da Fabio.
Received on Wed Aug 04 1999 - 00:00:00 CEST