On Mon, 12 Aug 2019 11:23:56 +0200, Giorgio Bibbiani wrote:
>Il 03/08/2019 19.12, El Filibustero ha scritto:
>> Problema teorico di un numero altissimo ma finito
>> di cariche su segmento, perfettamente 1D. Ciao
>
>Ho provato a scrivere una simulazione in Mathematica,
>10000 cariche puntiformi identiche sono vincolate
>su un segmento...
>...
>il risultato parziale è in accordo con la previsione
>che la carica si addensi agli estremi,
>https://drive.google.com/open?id=16kNu-J-5J6UP0txXESWQcFnRGZjsWChr
Yess!
valore *esatto* di 2x4096 cariche equispaziate, meta' destra dell'ago
(vedi seguito). L'ultima carica a destra e' 2.92685.
https://www.geogebra.org/m/ybcrucnn
>Mi rimangono alcuni dubbi sul problema teorico,
>...
>se si impone la condizione che all'equilibrio il
>campo generato dalle cariche diverse dalla i-esima
>nei punti x_i, i = 1,...,n sia nullo, si ottiene
>un sistema non lineare di n equazioni in n incognite
>che non so quante soluzioni possa avere.
Cambiando l'approccio al problema, le cose sembrano un po' piu'...
lineari. Non piu' cariche unitarie a distanze diverse, ma cariche
diverse a distanze unitarie. In questo modo, i dilemmi sul calcolo
improprio di integrali impropri si risolvono abbastanza bene in via
teorica, molto meno in pratica (dove la questione originale e'
irrisolta).
Supponiamo di avere 2N cariche poste inizialmente in fila,
equidistanziate di 1. Quelle agli estremi siano vincolate, le altre
libere. Le due in posizione centrale nell'ago siano unitarie; il
valore delle cariche sia simmetrico rispetto alla meta' dell'ago.
Con queste condizioni, l'unicita' dei valori di equilibrio di 2N
cariche e' garantita dall'unicita' di un sistema lineare in N-1
equazioni e incognite. Esempio: N=3. Delle 6 cariche
y x 1 1 x y
le incognite sono x e y; assumendo la legge coulombiana 1/r^2, il
sistema
1/2 x + 1/6 y = 1
-1/3 x + 3/4 y = 3/2
da' x=36/31, y=78/31 che e' l'unica possibilita' per l'equilibrio.
Stessa cosa per una generica legge ~1/r^a.
Avevo chiesto, riguardo alla legge ~1/r,
>si puo' dimostrare che l'unica funzione g tale che, per ogni u in ]0,1[,
>integrale{dx=0..1-u} (g(u-x)-g(u+x))/x = integrale{dx=-1..2u-1} g(x)/(u-x)
>e g(0)=1 e' g(x):=1/sqrt(1-xx)?
In virtu' dell'unicita' detta sopra della soluzione per un numero
arbitrariamente grande ma finito di cariche, la questione
dell'unicita' di g diventa fortunatamente irrilevante: infatti e'
intuitivamente ovvia, e pertanto difficilissima da dimostrare.
L'importante e' l'esistenza di g, modello asintotico *teorico* della
densita' di carica nell'ago.
Per la legge 1/r, abbiamo g(x)=1/sqrt(1-xx); piu' in generale, per
ogni a in ]0,2[ l'equazione funzionale dell'equilibrio con legge 1/r^a
int{dx=0..1+u} (g(u+x)-g(u-x))/x^a = int{dx=u+1..1-u} g(u+x)/x^a
(per ogni u in ]-1,0[)
e' risolta dalla ipergeometrica g(x)=_1F_0(1-a/2; xx).
In pratica, tutto va bene per a da 0 a 1; in questa situazione,
nell'estremo 0 dell'integrale{dx=0..1+u}, il limite di
(g(u+x)-g(u-x))/x^a e' nullo (o finito per a=1) sicche' g(x)
approssima molto bene la soluzione gia' per un sistema di qualche
centinajo di cariche (a eccezione delle cariche estreme, dato che g(x)
tende a +inf per x-->1).
Per a da 1 a 2, le cose vanno sempre peggio. Nonostante gli integrali
dell'equazione funzionale restino convergenti per ogni a<2,
nell'estremo 0 dell'integrale{dx=0..1+u}, il limite di
(g(u+x)-g(u-x))/x^a e' infinito. Cosi', benche' g(x) sia
*teoricamente* la distribuzione limite della densita' di carica, essa
approssima malissimo (in difetto) la soluzione di un sistema di un
numero grande ma non enorme di cariche, sempre peggio quanto piu' a e'
vicino al caso di interesse, ossia 2.
In conclusione, la questione originale della descrizione asintotica di
densita' di carica sull'ago conduttore per un numero grande ma non
enorme di cariche (qualche migliajo come nel link, per dire) resta
comunque irrisolta. Ciao
Received on Wed Apr 19 2023 - 00:29:58 CEST