Facendo seguito al mio post cui metto questo come risposta, ho deciso
di aprire una piccola divagazione per mostrare quanto spesso ci siano
idee confuse su questioni basilari.
Mi riferisco, sempre parlando delle coordinate di Langevin, di una
clausola che si trova praticamente sempre:
"La metrica nella forma di langevin è applicabile solo per r<1/w."
Per chiarezza ricopio la detta metrica:
(1 - w^2 r^2) dt^2 - 2 w r^2 dt dphi - dr^2 - r^2 dphi^2 - dz^2.
La clausola che ho citato viene giustificata con un'osservazione a
carattere matematico: "altrimenti il coeff. di dt^2 diventa negativo".
Oppure con una a carattere fisico:
"Non è possibile avere un oggetto fisico fermo (r,z,phi costanti) se
r>1/w, perché rispetto a un rif. inerziale si muoverebbe a velocità
maggiore di quella della luce. Quindi il rif. rotante è
necessariamente limitato a r<1/w."
Potrei liberarmi subito dalla restrizione "fisica" osservando
semplicemente che non è matematica.
Ma voglio esaminarla un po' più a fondo.
Per fortuna è facile, perché noi da quando esistiamo come Homo sapiens
viviamo in un rif. rotante...
È vero che finché ci limitiamo a oggetti terrestri non ci possono
essere problemi: la vel. di rotazione all'equatore non raggiunge i 500
m/s, ben lontana da c.
Ma proviamo a calcolare per quale valore di r un rif. solidale alla
Terra rotante raggiungereppe una vel. periferica pari a c.
La vel. angolare della Terra è
w = 2pi/86164 = 7.3x10^(-5) rad/s.
Quindi
r = c/w = 4x10^12 m = 27 UA.
Già Nettuno è più distante, e non parliamo delle stelle...
Tuttavia gli astronomi usano da millenni questo rif., misurando per
es. l'angolo orario, che è l'angolo tra il piano del meridiano e il
piano che passa per l'asse terrestre e per l'oggetto in osservazione.
Lo strumento dei passaggi è stato inventato per determinare l'istante
in cui un oggetto celeste attraversa il piano del meridiano locale,
ecc.
Quindi il rif. rotante è in uso corrente per oggetti molto molto più
lontani della supposta distanza limite.
Questo per la fisica e chiudo qui.
Ma torniamo alla matematica.
Davvero non è lecito estendere le coord. di Langevin oltre il limite
r=1/w?
È davvero necessario che sia g_{tt}>0 ?
La mia risposta è no.
Sarebbe vero se la metrica fosse diagonale, ma così non è.
L'annullamento o il cambiamento di segno di g_{tt} non produce nessuna
difficoltà: non c'è singolarità nella metrica. Per es. il determinante
vale -r^2 (verificate!).Quello che si richiede a una metrica dello
spazio-tempo è che esistano 4 vettori tangenti, chiamiamoli e_0, e_1,
e_2, e_3, tra loro ortogonali e tali che
e_0.e_0 = 1
e_1.e_1 = -1
e_2.e_2 = -1
e_3.e_3 = -1
Lascio al lettore di trovarli (ma è banale).
--
Elio Fabri
Received on Wed Apr 26 2023 - 12:13:59 CEST