Re: Riflessioni sul riferimento rotante

From: Bruno Cocciaro <b.cocciaro_at_comeg.it>
Date: Wed, 26 Apr 2023 08:10:22 -0700 (PDT)

Il giorno mercoledì 26 aprile 2023 alle 12:55:04 UTC+2 Elio Fabri ha scritto:
> Mi riferisco, sempre parlando delle coordinate di Langevin, di una
> clausola che si trova praticamente sempre:
> "La metrica nella forma di langevin è applicabile solo per r<1/w."
> Per chiarezza ricopio la detta metrica:
> (1 - w^2 r^2) dt^2 - 2 w r^2 dt dphi - dr^2 - r^2 dphi^2 - dz^2.
> La clausola che ho citato viene giustificata con un'osservazione a
> carattere matematico: "altrimenti il coeff. di dt^2 diventa negativo".
Questo, come sai, secondo me è un falso problema.

> Oppure con una a carattere fisico:
> "Non è possibile avere un oggetto fisico fermo (r,z,phi costanti) se
> r>1/w, perché rispetto a un rif. inerziale si muoverebbe a velocità
> maggiore di quella della luce. Quindi il rif. rotante è
> necessariamente limitato a r<1/w."

Questo invece, sempre secondo me, è un problema enorme, tale da dover dire, già a questo livello, che l'espressione della metrica ha assoluta necessità di essere interpretata.
Comunque il problema fisico lo metterei in altri termini.

Sia dato un disco di raggio r che abbia un segno di riconoscimento, S, in un punto sul suo bordo. Il disco è fermo nel riferimento inerziale K. Il centro del disco è nel punto O di K.






Mettiamo il disco in rotazione a velocità angolare w. Già questo va interpretato. L'interpretazione è la seguente: l'orologio fermo in K in un punto distante r'<r da O misura un intervallo di tempo pari a 2*pi/w fra due passaggi successivi di S. Che sia r'<r va verificato sperimentalmente. *Non è logico* che debba essere r'=r, e non è logico nemmeno che sia r'<r. Come detto va verificato sperimentalmente, verifica che assumiamo e che, a mio avviso, e dimostrabile per assurdo (assunti i postulati della RR). Oltre a non essere logico, r'=r non deriva nemmeno da alcun postulato della RR, men che meno deriva dal principio di relatività. La verifica suddetta consiste nell'osservare che, se l'orologio si mettesse su un punto la cui distanza da O vale r''=/=r', allora l'orologio non vedrebbe mai il segnale S (vedrebbe sempre punti interni al disco se r''<r', non vedrebbe mai alcun punto del disco se r''>r').
Si verifica anche sperimentalmente (o si dimostra assumendo i postulati della RR) che è
(*) r'=r*sqrt(1-(w*r'/c)^2)
relazione che può assumere le forme
(**) r'=r/sqrt(1+(w*r/c)^2)
e
(***) w*r'=c*sqrt(1-(r'/r)^2).
Si verificano facilmente le seguenti relazioni
r'<r per ogni r e w,
w*r'<c per ogni r (cioè la velocità di S in K sarà sempre minore di c),
se w*r<<c allora r'<~r,
se r->oo allora r'->c/w da sinistra e viceversa, r'->c/w da sinistra allora r->oo,
dato r, se w->oo allora r'->0.




È forse un po' lungo metterlo qua, ma ciò che dico sopra a me pare facilmentre dimostrabile sulla base dei postulati della RR. La dimostrazione si basa su ciò che giorni fa intendevo dicendo che "non può esserci la magia", cioè che se la circonferenza sul bordo del disco viene coperta da 2*pi*r/u regoli unitari quando il disco è fermo in K (u=lunghezza unitaria), allora gli stessi 2*pi*r/u regoli unitari dovranno coprire quella circonfernza quando il disco è in rotazione (ipotizzare che possa essere r' =/= r/sqrt(1+(w*r/c)^2) porta all'"assurdo" della dimostrazione che dicevo sopra, certo, si tratta di un assurdo fisico, non logico).


Nella sostanza, un disco rigido il cui raggio vale r quando è fermo in un riferimento inerziale, *in quanto rigido*, deve contrarre il proprio raggio di un fattore gamma=sqrt(1+(w*r/c)^2)=1/sqrt(1-(w*r'/c)^2) quando lo stesso viene messo in rotazione in K alla velocità angolare w (dove w ha il significato detto sopra).

Per quanto a me paia che quanto dico sopra sia incontestabile, permane il fatto che, secondo me, questo non sia sufficiente per poter considerare esaustiva la risposta alla domanda "cosa fa un disco rigido in rotazione"?.

> Ma proviamo a calcolare per quale valore di r un rif. solidale alla
> Terra rotante raggiungereppe una vel. periferica pari a c.
> La vel. angolare della Terra è
> w = 2pi/86164 = 7.3x10^(-5) rad/s.
> Quindi
> r = c/w = 4x10^12 m = 27 UA.
> Già Nettuno è più distante, e non parliamo delle stelle...

ma non c'è nessun riferimento solidale alla Terra che si estende fino a Nettuno. Nettuno non percorre ogni giorno una circonferenza di raggio pari alla distanza Terra-Nettuno.

> Ma torniamo alla matematica.
> Davvero non è lecito estendere le coord. di Langevin oltre il limite
> r=1/w?
> È davvero necessario che sia g_{tt}>0 ?


Riprendo quanto dicevo sopra. Forse riuscirò a chiarire meglio le mie difficoltà che sono certamente dovute a un mio scarso impegno nello studiare dei formalismi di uso relativamente diffuso, ma è anche vero che a quei formalismi io non riesco proprio ad attribuire un significato (da cui poi lo scarso impegno nello studiare una cosa che non capisco fin dai primi passi).



Io non riesco a elaborare alcun costrutto a partire dall'espressione della metrica che dai sopra perché, mentre saprei dare un significato ai simboli dz e dphi, forse anche a dr ma con molti dubbi sul fatto che il tuo significato coincida col mio, sul dt non ho proprio la minima idea di cosa significhi. Il dt ha un significato molto artificioso (cioè legato alle misure in maniera complicata) anche in riferimenti inerziali, cioè nella "normale" RR, nel riferimento rotante non capisco proprio cosa potrebbe essere.

> Elio Fabri
Ciao,
Bruno Cocciaro.
Received on Wed Apr 26 2023 - 17:10:22 CEST