Re: Espansione isotermica con molla

From: Andrea <a_at_a.a>
Date: Sun, 19 Jul 2009 12:22:26 +0200

"lmera" <"lm..."_at_libero.it> ha scritto nel messaggio
news:89Z96Z190Z247Y1247483563X22881_at_usenet.libero.it...

> In un cilindro di raggio r c'� un setto a distanza d dal fondo del
> cilindro.
> Il volume tra il setto e il fondo del cilindro � occupato da un gas ideale
> mentre dall'altra parte del setto � stato fatto il vuoto.
> Dalla parte vuota del cilindro c'� una molla che nelle condizioni iniziali
> �
> a riposo.
> Viene rimosso il fermo al setto e il gas si espande comprimendo la molla.
> Si
> raggiunge l'equilibrio quando il setto si trova a 2*d dal fondo del
> cilindro. Sapendo che la temperatura del gas rimane costante durante tutto
> il processo e che il setto si muove senza attrito si chiede di calcolare
> il
> valore della costante elastica della molla.
>
> Io ho ragionato cos�:
> x1=2*d e x0=d.
> F=k(x1-x0) -> F=k*d
>
> V1=x1*A -> V1=2*d*A -> 2*V0.
> p1*V1=p0*V0 (pV=nRT ed essendo un'isoterma si ha pV=cost.)
>
> All'equilibrio p1=F/A (A = area di base del cilindro).
> p1*A=F -> p1*d*A=F*d -> p1*V0=F*d -> 2*p0*v0=F*d -> 2*p0*V0=(k*d)*d ->
> k*d^2=2*p0*V0
> Riassumendo: k * d^2 = 2 * p0 * V0

Ciao, qui c'� un errore: essendo pV=cost. dal momento che V1=2Vo ne segue
che P1=Po/2
quindi l'ultima equazione diventa: k*d^2=p0*V0/2.



> Ma so che il lavoro compiuto dalla molla � L=(1/2)*k*d^2.
> Il lavoro compiuto dal gas � L = nRT*ln(V1/V0) = p0*V0*ln2.
> E dato che non ci sono attriti e che il gas non si scalda i due lavori
> sono
> uguali.
> Quindi (1/2)*k*d^2 = p0*V0*ln2 -> k*d^2=2*p0*V0*ln2.
> Riassumendo: k * d^2 = ln2 * 2 * p0 * V0
>
> Prima osservazione: Com'� possibile che ottengo due valori diversi per
> k*d^2?
> Il lavoro compiuto dal gas non � uguale a quello compiuto dalla molla?
> Dove va a finire la differenza di lavoro?
> Oppure sbaglio qualcosa?

Qui c'� una sottile fregatura: in realt� un po' di dissipazione di energia
ce l'hai per forza, altrimenti il pistone oscillerebbe indefinitamente.
Il gas esercita una forza pari a F = P*A = nRT*A/V , quindi proporzionale a
1/x, dove x � la lunghezza della regione occupata dal gas.
Dall'altro lato, la molla esercita una forza proporzionale a (x-d).
Applicando il teorema delle forze vive, l'energia cinetica del pistone si
annullerebbe dopo il punto x=2d, dando luogo a delle oscillazioni
permanenti intorno al punto di equilibrio. Immagina una massa appesa a una
molla e soggetta alla forza di gravit�: il punto di equilibrio
� quello in cui le due forze si bilanciano, ma esso non � una posizione di
riposo, anzi viene attraversato alla massima velocit�, se non si considerano
attriti di alcun tipo.
In questo caso, quando il testo diceva "senza attrito" intendeva escludere
attriti tali da incagliare il pistone in un punto intermedio, o addirittura
da non farlo nemmeno partire. Consideriamo quindi un attrito di modulo
"epsilon piccolo a piacere"!

> Seconda osservazione: cosa devo considerare per risolvere il problema? Ho
> bisogno di una seconda equazione, ma qual'�?


Nessuna, il problema � risolto con k= nRT/(2*d^2).
Infatti se ho una quantit� di gas n a una certa temperatura T, e voglio che
a partire dalla posizione iniziale d il punto di equilibrio sia il doppio,
la soluzione sar� funzione solo di n, T e d.

Ciao
Andrea
Received on Sun Jul 19 2009 - 12:22:26 CEST