Il 08 Mar 2009, 18:07, "Bruno Cocciaro" <b.cocciaro_at_comeg.it> ha scritto:
> > In particolare facendo il
> > conto in coordinate cartesiane trovo che la derivata terza rispetto a
zeta
> > del potenziale 1/r � proprio: z (2 z^2 - 3 r^2) / (z^2+r^2)^(7/2).
>
> ah ma per trovare la componente z del campo dovuto al multipolo
> (l,m=0)-esimo basta fare la derivata (l+1)-esima rispetto a z di 1/r ?
Era rimasta in sospeso questa domanda: si. Perch� la derivata rispetto a
zeta � invariante per rotazioni.
> E magari c'e' qualche altra scorciatoia per le componenti x e y ?
Per (l, m=l) calcoli (d/dx + i d/dy)^l, questa grandezza trasforma con la
fase e^(i l theta) per rotazioni. Per gli ordini pi� bassi quello che fai �
prendere l'armonica sferica in coordinate cartesiane e sostituire
formalmente le coordinate con le derivate rispetto alle medesime. Non sono
certo se l'autovalore m viene preservato o cambiato di segno. Di certo per�
il carattere di invarianza per rotazioni, a meno di una fase complessa, �
preservato.
> Scusa eh, magari dovrebbero essere cose arcinote, ma io con questi
multipoli
> non ho mai avuto una gran pratica.
Ma non sono altro che sviluppi in serie di Taylor, tuttavia quello che si
verifica � che le derivate di 1/r rispetto ad un certo elenco di coordinate
� una funzione armonica come lo � 1/r (escludendo l'origine dove �
singolare) quindi i numeratori di queste derivate sono funzioni armoniche,
di conseguenza le derivate non sono tutte indipendenti. Per esempio in due
dimensioni hai certamente n+1 derivate di grado n ma solo due funzioni
armoniche indipendenti. Per le tre dimensioni le derivate di grado n sono
C(n+2,2) = (n+2)(n+1)/2, ma le funzioni armoniche indipendenti
corrispondenti sono 2n+1.
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Received on Thu Mar 12 2009 - 01:04:29 CET