Re: Per fisici matematici: forme differenziali, dx,dy etc

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: Mon, 11 Feb 2008 04:05:42 -0800 (PST)

On Feb 11, 10:45 am, Scarabeo <lapllapazzachestrumpalla..._at_yahoo.com>
wrote:
> Ciao a tutti,
> ho un dubbio di analisi su varieta' differenziali. Non ho problemi ha
> capire la definizione rigorosa che si da dei vari dx, dy etc. Cioe'
> basi (duali) per lo spazio funzionali lineari sullo spazio vettoriale
> tangente in un punto di una varieta' differenziale. Non riesco pero' a
> recuperare cio' che lega queste definizioni almeno in dimensioni 2 e 3
> al significato intutivo o uso informale, non rigoroso dei dx, dy che
> si fa in fisica e anche nelle introduzioni di analisi matematica.
> Tanto per chiarire ulteriormente i miei dubbi. Quando mi trovavo di
> fronte a un Adx of Adxdy li consideravo simboli che riassumenvano un
> processo di limite che potevo rendere rigoroso (Rienmann). Li vedevo
> come il valore della funzione A moltiplicato per un interevallo o
> areola che potevo rendere piccola a piacere. Non riesco a capire come
> questo sigificato di dx e dxdy si possa collegare alla definizione
> formale di cui sopra...
>
> Grazie e tutti!!!
> Scarabeo

Ciao, la questione non e' per nulla ovvia ed in realta' si tratta di
piu' questioni. Ti dico il mio punto di vista.
Quando tu consideri cose del tipo

df|_p = somma_i _at_f/_at_x^i|_p dx^i

queste le puoi interpretare in entrambi i modi, come "variazioni
infinitiesime" in senso intuitivo, oppure come elementi dello spazio
cotangente in p. Il fatto che l'interpretazione sia duplice risiede
nel fatto che, in entrambe le interpretazioni, quando cambi
coordinate, gli oggetti dx^i
si trasformano con la stessa legge (usando l'interpretazione intuitiva
di dx cone Delta x "piccolo" devi trascurare termini del secondo
ordine).
Questo e' il punto centrale attorno a cui ruota tutto.
Passando ad oggetti piu' complicati come Adxdy in R^2, le cose si
complicano. In quel caso dxdy, rigorosamente, lo devi interpretare
come dx wedge dy dove wedge e' il prodotto esterno di forme. Anche in
questo caso la duplice interpretazione e' possibile a causa della
legge di trasformazione di dxdy da una parte ed dx wedge dy
dall'altra. In entrambi i casi appare un determinante jacobiano, per
motivi diversi.
La radice di tutto e' in realta' basata sul fatto che piccolo viene
operativamente tradotto con "linearizzato" quando si passa dalla
fisica alla matematica, dato che "piccolo" a rigore non vuol dire
niente, se non, in questo caso, "e' possibile trascurare termini non
lineari".

Dal punto di vista intuitivo sarebbe molto meglio introdurre prima lo
spazio cotangente dei dx^k, notando che quello che si usa nel
maneggiare i dx^i e' solo la loro legge di trasformazione lineare che
deriva dal trascurare i termini non lineari. Formalmente, questa legge
di trasformazione, quando si lavora con trasformazioni di coordinate
inveribili e bidifferenziabili, implica che i dx^i si possano pensare
come basi vettoriali di oggetti astratti (basi proprio perche' la
legge lineare di trasformazione ha determinante non nullo!). Una
volta notato questo si potrebbe introdurre lo spazio tangente, quello
generato dai _at_/_at_x^k come il duale dello spazio generato dai dx^i.
Solo a questo punto uno potrebbe notare che i vettori dello spazio
tangente si possono anche interpretare come le componenti di vettori
tangenti a curve. Nella realta' si procede in senso inverso...
Ciao, Valter
Received on Mon Feb 11 2008 - 13:05:42 CET