Re: dilemmi cosmologici (conti)

From: torn <usenet_at_synesthesia.csoft.net>
Date: Sat, 09 Feb 2008 02:14:35 +0100

Elio Fabri wrote:
> torn ha scritto:
>> Prima domanda: come la mettiamo con la limitatezza dell'argomento
>> dell'arcoseno? Non mi pare di aver messo limitazioni su r! Ci dev'essere
>> qualcosa di fondamentale che non afferro...
>
> Se tu avessi dato un'occhiata al giusto capitolo dei miei appunti di
> RG, sapresti che le sezioni spaziali della geometria di RW a curvatura
> positiva sono isometriche a S^3, e quindi, come ti ha gia' detto
> Valter, quella tue coordinate (come qualsiasi altra scelta) vale solo
> per una carta locale.

Prometto di leggere le tue dispense, che tra l'altro gi� mi sono state
utili in qualche esame. Lo farei ora ma sono febbricitante e la lettura
non sarebbe proficua. User� la malattia anche come scusa per l'eventuale
stupidit� delle domande che seguono :)

>> Ma veniamo ora ad un altro problema. In un contesto che non introduco
>>
> O bella! Ma se non dici il contesto, che senso ha la domanda?

Il fatto � che nel momento in cui ho scritto il problema mi sembrava
quasi esclusivamente matematico, per cui ho ritenuto il contesto
superfluo. Ora ho capito qualcosa di pi�, e in quando segue non ho
intenzione di essere breve :) Se non avrai voglia di seguire i conti non
mi offender�.

Partiamo andando alla ricerca di una metrica per cui

ds^2 = (c*dt)^2 - dl^2.

In particolare cerchiamo la parte spaziale (3-dimensionale) del tensore
metrico nel caso di uno spazio omogeneo e isotropo. Cominciamo dal caso
pi� semplice di uno spazio bidimensionale. Tale spazio pu� essere: (1)
l'usuale piano cartesiano, (2) una superficie sferica di raggio R, (3)
la superficie di un'iperboloide.

Nel primo caso la metrica, in coordinate polari rho \in [0,infty) e phi
\in [0,2pi) � nella forma

dl^2 = a^2*(dr^2 + r^2*d\phi^2),

dove abbiamo introdotto la coordinata adimensionale r = rho/a, con
r \in [0,infty), e la costante a, con le dimensioni di una lunghezza.

Passiamo al caso (2). Sulla superficie di una sfera di raggio R la
metrica in coordinate theta \in [0,pi) e phi \in [0,2pi) �

dl^2 = a^2*(d\theta^2 + sin^2(theta) d\phi^2)

dove a = R. Se poniamo r = sin(theta), con r \in [0,1), possiamo
scrivere anche:

dl^2 = a^2(dr^2/(1-r^2) + r^2 d\phi^2,

al costo di avere la metrica non definita per r = 0 (ma comunque � solo
un problema di carta locale, come dicevate). [ATTENZIONE: gi� qui il mio
libro fa variare r tra 0 e 1 COMPRESI, senza fare commenti, ma
bolliamolo come errore di stampa.]

Caso (3): iperboloide. La metrica � data da

dl^2 = a^2*(d\theta^2 + sinh^2(theta)d\phi^2)
     = a^2*(dr^2/(1+r^2) + r^2 d\phi^2)

con r = sinh(theta), r \in [0,\infty).

Generalizzando a tre dimensioni, per i tre casi abbiamo

(1) dl^2 = a^2(dr^2 + r^2 dOmega^2)
(2) dl^2 = a^2(dr^2/(1-r^2) + r^2 dOmega^2)
(3) dl^2 = a^2(dr^2/(1+r^2) + r^2 dOmega^2)

dOmega^2 = d\theta^2 + sin^2\theta d\phi^2. Importante: nei tre casi le
limitazioni sul parametro r sono le stesse di prima!

I tre valori di K nella metrica di RW corrispondono quindi ai casi
(1)-(3) appena elencati. Importantissimo (ma forse sbagliato, non l'ho
trovato scritto ma dedotto io): quando scegliamo un valore di K (e
quindi un tipo di curvatura) stiamo anche scegliendo l'intervallo in cui
varia il parametro r!

Fino a qui *sembrano* non esserci problemi.

Vogliamo ora esprimere il parametro r in funzione del redshift.

Per un raggio di luce ds^2 = 0, quindi (t = tempo di emissione, t0 tempo
di ricezione, r = luogo di emissione)

\int_t^t0 c/a dt = \int_0^r 1/sqrt(1-Kr^2) dr

[sempre se la direzione del raggio � quella individuata da 0 (origine)
ed r, e sempre se abbiamo orientato gli assi in un certo modo, DICO IO,
nel libro non � scritto].

Comunque, esprimendo il primo membro in funzione di z (1+z = a_0/a), e
poi espandendo a in serie di potenze, otteniamo:

c/a_0 * \int_t^t0 [1 + H0(t_0-t) + ...] = r + O(r^3)

Ha fatto l'integrale a prescindere dal valore di K. Vediamo un po'. A
seconda del valore di K le primitive dell'integrale sono:

K = 0 => r = r + 0r^2 + 0r^3 + ...
K = 1 => arcsin(r) = r + x^3/6 + ...
K = -1 => arcsinh(r) = r - r^3/6 * ...

quindi la matematica � giusta, sono tutte r + O(r^3). Ma ricordiamoci
degli intervalli in cui pu� variare r! Nel caso K = -1 non potr� MAI
pensare troncare lo sviluppo asintotico senza aver fatto qualche
ipotesi! Il libro invece procede con un bel "therefore":

r = c/a_0 * [(t_0-t) + H0(t0-t)^2/2 + ...]

Ha integrato, scambiato primo e secondo membro E APPROSSIMATO r + O(r^3)
CON r!

Ecco il mio problema. Spero solo che dopo aver scritto tutto questo
l'inghippo non sia dopo due righe. Ti (vi) segnalo il libro, magari
qualcuno di voi lo ha sotto mano:

Coles, Lucchin: Cosmology, The Origin and Evolution of Cosmis Structure,
seconda edizione, Wiley.

Il passaggio incriminato � a pagina 18 (sigh).

p.
Received on Sat Feb 09 2008 - 02:14:35 CET