Re: SU(2)xU(1), U(2) e numeri quantici

From: argo <brandobellazzini_at_supereva.it>
Date: Sat, 5 Jan 2008 11:30:08 -0800 (PST)

Unit ha scritto:
>spero di non dire sciocchezze, ...

mi spiace ma ti sei confuso.

On 5 Gen, 18:34, lje..._at_yahoo.it (Tetis) wrote:
> Il 04 Gen 2008, 18:20, argo <brandobellazz..._at_supereva.it> ha scritto:
>
> > Sono interessato alle rappresentazioni di SU(2)xU(1).
> > Sono date dal prodotto tensore delle rappresentazioni di SU(2)
> > (che si possono classificare tramite lo ''spin'' j con j semintero o
> > intero) e quelle di U(1) della forma exp[iaY] dove a e' reale in
> > [0,2pi) e Y e' il generatore di u(1).
>
> No, a deve essere multiplo intero di 2pi. Anche perch�
> se no la carica non sarebbe quantizzata.

Non capisco: perche' dici multiplo intero di 2pi?
Non direi, e poi infatti la carica (iper) non e' quantizzata (e qui si
potrebbe aprire un discorso...)

> > Dunque una rappresentazione di SU(2)xU(1) ha due numeri indipendenti
> > che la identificano j ed a
>
> > E di U(2) che cosa possiamo dire? Siccome ogni trasformazione di U(2)
> > si puo' scrivere come fase*trasformazione di SU(2) direi che U(2) e
> > SU(2) sono isomorfi.
>
> Volevi scrivere che SU(2) x U(1) ed U(2) sono isomorfi, ma

si' infatti

> in verit� dovresti dimostrare che U(2) ha la stessa topologia
> di SU(2) x U(1) che � un fibrato banale. In verit� � immediato
> riconoscere che un esponenziale di s_3 genera -s_3 che
> coincide con s_3 x (-1) quindi c'� una ridondanza, ovvero
> SU(2) x U(1) contiene due copie di U(2). Ed U(2) si ottiene
> quozientando SU(2) x U(1) con Z2. Per l'esattezza (x,y) = (-x,-y).

ok.

> Poich� SU(2) � semplicemente connesso ed U(1) ha gruppo
> fondamentale Z il gruppo fondamentale di U(2) � Z/Z_2.

questo non lo capisco: perche' dici che il fondamentale di U(1) e'
Z/Z_2 che nemmeno e' un gruppo di Lie?
Sto vaneggiando?

>Questo
> diventa il gruppo di classificazione delle rappresentazioni a cui
> si deve il vincolo di parit�. D'altra parte il problema della identit� degli
> opposti
> si ha per tutte le rappresentazioni di spin semintero di SU(2), non invece
> per le rappresentazioni di spin intero,

certamente

[...]
> > Invece leggo sul Gilmore (libro di gruppi e algebre di lie, al cap5)
> > che le rappresentazioni di U(2) sono indentificate da due numeri non
> > indipendenti j ed a (sempre definiti nel dominio di cui sopra) tali
> > che
> > (-1)^[2j+a]=1.
> > E inoltre conclude che da questo si tira fuori la relazione
> > Q=T^3+Y che lega l'ipercarica Y e la carica elettrica Q.
>
> Dunque U(2) sarebbe una simmetria che si splitta in
> simmetria di isospin (oltretutto non esatta) e simmetria
> di gauge?

Beh non dovrebbe dipendere dall'applicazione che uno ha in mente.

[...]
> Non � esattamente cos� che stanno le cose, ma puoi utilizzare
> come ausilio il seguente: immagina che al posto di SU(2)
> ci fosse stato U(1). Considera allora la coppia di numeri
> complessi (z1, z2) unitari, che parametrizzano un toro T^2
> cosa comporta l'identificazione dei puni (z1, z2) e (-z1,-z2)?
> a livello di topologia?

che non e' piu' semplicemente connesso.

> E di rappresentazioni?

Che le rappresentazioni di U(1)XU(1) che hanno {1,-1}X{1,-1} (spero si
capisca) nel Kernel sono anche rappresentazioni di
U(1)XU(1)/Z2
>
> > Qualcuno puo' fare luce?
> > Grazie.
Uhm non ho ancora molto chiara la questione.
Comunque graie e ciao.
Received on Sat Jan 05 2008 - 20:30:08 CET