Probabilmente per il contenuto che lo lega alle algebre
di Virasoro questo argomento risulter� pi� congeniale a
degli studenti di fisica che non di matematica. Allora agli
argomenti che avevo gi� proposto sul ng di matematica
aggiungo altri spunti che riguardano la costruzione di
Cartan: Cartan associava ad una curva in uno spazio
differenziale proiettivo (cio� dotato di connessione
proiettiva) una conica. Analogamente alla costruzione di
Huyghens delle evolventi, questa conica, che � in un certo
senso l'evolvente proiettiva di una linea oraria, pu� essere
associata una caratteristica proiettiva invariante.
Le caustiche caratterizzano con
invarianti, a meno di diffeomeomorfismi, le curve di cui
sono evolventi, e lo stesso fanno le coniche di Cartan.
Poich� � abbastanza naturale associare, ad un tentativo di
quantizzazione di uno spazio-tempo, delle strutture differenziali
proiettive � anche naturale chiedersi che cosa mai significhino
da un punto di vista fisico questi invarianti che sortiscono dalle
dita di Cartan, invarianti che sono di particolare, differente rispetto
a quelli topologici globali su cui si costruiscono le propriet� metriche,
ma legati a quelli come sono legate le fasi geometriche alle curvature
negli spazi a curvatura costante. E' anche naturale chiedersi,
suppongo, cosa significhi l'analogo cartaniano della fase di Berry:
la torsione per cui il riferimento proiettivamente equivalente dopo
una circuitazione non ha pi� il medesimo centro del riferimento iniziale.
Conoscendo un minimo di teoria dei campi sovviene che il tensore di
torsione, illustre sconosciuto, � quello che viene artificiosamente fatto
sparire dall'elettromagnetismo classico quando si costruisce un tensore
elettromagnetico il cui momento angolare non abbia una rotazione intrinseca.
Il medesimo riaffiora come ineliminabile quando si considerano, poco pi�
tardi nei moderni corsi di studio, i tensori elettromagnetici della
elettrodinamica
quantistica, ma � anche legato (come suggerisce il mistero di un centro
delle
coordinate differente in presenza di torsione)
con le questioni di impossibilit� della localit�-simultanea dei campi
elettromagnetici
con i campi fermionici. Questa problematica ha condotto Weinberg ad
ipotizzare aggiuntivi, i cosiddetti assoni, che si sono rivelati alquanto
sfuggenti a livello di interazioni elementari su femto-scala, ma un poco
meno
eterei se legati alle WIMP.
Nell'odierna teoria la difficolt� viene attribuita al vincolo di gauge fra
le
regole di commutazione fermioniche e le regole di commutazione dei
campi elettromagnetici. E' noto, come dice Valter da pi� tempo che
quel genere di considerazioni che facevamo prima sulla difficolt�
di una teoria dei campi in spazio tempo curvi
ha portato alle riformulazioni della teoria quantistica dei campi in
spazio tempo curvi da parte di Penrose, Wald, ed altri, meno noto
ma non meno necessario � il tema, difficile, affrontato da Wald come
conseguenza necessaria della riformulazione per campi massivi,
delle calibrazioni di spin, ma quello che trovo curioso � che Wald
non accenni in General Relativity alla circostanza che il tema degli
spin nasce in veste piuttosto differente dalla antica impostazione di
Cartan, in geometria differenziale proiettiva, della relativit� generale.
Ora trovo possibile ed anzi plausibile che qualche parte delle difficolt�
non ultimo l'ostacolo formidabile delle anomalie e la predizione che
le fluttuazioni di vuoto dei campi dovrebbero "pesare"
derivano, IMHO, dalla tendenza ad invertire il punto di vista di Cartan:
quello che viene fatto � dare come primitiva la struttura metrica
dei gruppi di rotazione, e la nozione di spin,
in luogo della struttura proiettiva, e si cerca di conciliare una
quantizzazione della struttura metrica, intesa come primitiva con
la teoria quantistica dei campi. In questo modo i campi vengono
trattati come entit� arbitrarie ed a priori caratterizzati dalla loro
lagrangiane tradizionali, e per evitare le anomalie sono state
escogitate varie tecniche di risommazione degli sviluppi
perturbativi nonch� tecniche di quantizzazione, alternative.
Ma non c'� ragione intuitiva per cui le fluttuazioni della metrica
dovrebbero
contribuire al tensore metrico nell'impostazione generale di Cartan,
essendo le fluttuazioni, le correlazioni ed i campi di materia,
volti differenti della stessa medaglia : la non banalit� del gruppo
di torsione. E semmai intuitivo risulterebbe
che mettere le fluttuazioni di vuoto nel tensore metrico sarebbe volere
ricontare due volte nello stesso luogo ci� che avviene una volta sola
in luoghi differenti. Purtroppo tutto questo mi � molto vago.
Veniamo ora alla domanda che volevo proporre che � invece molto
meno vaga.
Poniamo :
p(x), q(x), w(x)
tre funzioni continue su un intervallo [a,b]
- (p(x) y ' ) ' + q(x) y = k w(x) y
date due soluzioni y per il problema agli autovalori in k
vige la propriet� che fra due zeri di una delle due soluzione
esiste almeno uno zero dell'altra soluzione. Questa
propriet� generale si pu� dimostrare dalla non degenerazione
delle soluzioni ricorrendo ad una semplice propriet� topologica
delle linee sul piano.
Esistono vari modi per evidenziare questa propriet� topologica.
Uno che forse non � il pi� gradevole dal punto di vista matematico
� associare al problema di Sturm Liouville un problema variazionale
vincolato ed applicare la teoria delle trasformazioni di Legendre ed
Hamilton. Introducendo una condizione di libert� sulla scelta del
parametro x si pu� ricondurre il teorema di Sturm Liouville al
teorema degli zeri. Dal punto di vista geometrico il modo pi�
intelligente di dimostrare questo teorema � quello di sfruttare
ancora una volta il gruppo dei diffeomeomorfismi del cerchio,
riconoscere una struttura di invariante proiettivo nell'espressione
dell'operatore di Liouville ed essenzialmente dimostrare il teorema
in un caso particolare che pu� essere quello in cui p(x) = 1,
q(x) = 0, w(x) = 1.
Questa propriet� topologica � dunque invariante per trasformazioni
proiettive. Un altra famosa forma invariante della teoria delle equazioni
differenziali ordinarie � la forma del Wronskiano. Il determinante
wronskiano � invariante per evoluzione temporale, ma al tempo
stesso la struttura differenziale � una forma invariante valida per
qualsiasi sistema di equazioni differenziali
a coefficienti costanti. Al tempo stesso, ancora, il Wronskiano generalizza
un oggetto straordinariamente potente della geometria proiettiva:
il determinante come strumento di controllo della collinearit�. Non a caso
il Wronskiano � diverso da zero se le funzioni che lo compongono sono
linearmente indipendenti.
Indipendenza funzionale: un sistema di funzioni si dice funzionalmente
indipendente quando non pu� esistere una funzione F non banale tale che:
F(f1, ... , fn) = 0 identicamente verificata. Questa condizione si esprime
localmente ricordando il teorema delle funzioni implicite. Dovrebbe
sussistere un ulteriore invariante legato all'indipendenza funzionale,
ma somiglia un poco alla seconda quantizzazione quanto a livello di
astrazione. Qualcuno ha incontrato strutturatamente questi argomenti
in qualche corso di studio?
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Received on Sat Oct 20 2007 - 16:40:09 CEST