Re: Gruppo di Poincare', spazio-tempo curvo, teoria dei campi

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: Tue, 23 Oct 2007 04:53:19 -0700

Aleph ha scritto:



> Questo lo capisco un po' meno... o almeno mi sembra che il gatto si morda
> la coda.
> Se nella teoria quantistica degli spazi curvi "si perde la nozione di
> particella..." usuale, allora in che senso tale teoria pu� dirsi veramente
> quantistica?
> Voglio dire, se il concetto canonico di particella viene depotenziato nel
> passaggio agli spazi curvi, allora come � possibile descrivere in tale
> "framework" processi eminentemente "particellari" come, a esempio,
> l'emissione di radiazione di Hawking da un buco nero?

Prima di tutto, non � vero che per parlare di "stati termici" tu abbia
bisogno della nozione di particella. Hai solo bisogno di un campo
vettoriale di Killing di tipo tempo. Uno stato � termico alla
tempertaura T rispetto alla nozione di tempo associata alla simmetria
di Killing suddetta, se soddisfa una certa condizione detta condizione
KMS scoperta da Kubo, Martin e Schwinger (in realt� � sttao Haag che
ne ha capito l'importanza).
Qui la storia � complicata, ma questa condizione produce una diretta
generalizzazione della nozione di distribuzione (quantistica) canonica
(nel senso di Gibbs) alla temperatura T nelle situazioni in cui il
sistema fisico �, per esempio, in un volume infinito...
Nel caso di Schwarzschild, il campo di Killing � quello associato alla
coordinata t di Schwarzschild fuori dall'orizzonte. Ci sono anche
altre situazioni dove questa tecnologia viene usata, come l'effetto
Unruh: il vuoto di Minkowski, per un osservatore uniformemente
accelerato, appare come un bagno termico ad una certa temperatura (che
dipende dall'accelerazione)...



Veniamo al caso specifico della radiazione di Hawking.
Devo premettere che in QFT in curved spacetime c'� una definizione pi�
debole di particella, se uno la vuole, che si ottiene come segue.
L'oggetto fondamentale � il campo quantistico. Poi bisogna fissare uno
stato di riferimento e fare la costruzione GNS: in questa costruazione
il campo diventa un operatore di campo e lo stato diventa un vettore
in un certo spazio di Hilbert.
Se lo stato � fatto in un certo modo (stato "quasilibero"), lo spazio
di Hilbert di cui sopra � uno spazio di Fock e quindi esiste una base
privilegiata a "numero di particelle fissato". In definitiva c'�
quello che si chiamo "spazio ad una particella" e gli stati in questo
sottospazio sono interpretabili come stati che si riferiscono ad una
particella sola. Cosa si perde rispetto alla teoria Minkowskiana? Si
perde questo, nella teoria di Minkowski (spazio piatto) lo stato
privilegiato era univocamente fissato richiedendo che fosse invariante
sotto il gruppo di Poincar� e che avesse energia positiva rispetto
alle traslazioni temporali. In questo contesto, quando salta fuori lo
spazio di Fock, si vede che lo spazio ad una particella � una
rappresentazione irriducibile del gruppo di Poincar�. Pertanto �
completamente individuata dai valori degli operatori di Casimir:
massa, spin, segno dell'energia (carica e altra roba se c'�). Le
particelle sono allora quelle che conosciamo a massa, spin ecc..
fissate. Nel caso di spaziotempo curvo, la nozione di particella detta
sopra non ha alcuna di queste caratteristiche, in generale. Proprio
perch� non c'� pi� il gruppo di Poincar�.
Nel caso della radiazione di buco nero di Schwarzschild, si vede che
c'� uno stato di quasiliberoi di riferimento che � (1) uno stato KMS
alla temperatura di Hawking come detto sopra (in realt� � un p� pi�
complicato),
ma anche (2) � uno stato pieno di particelle alla temperatura di
Hawking, quando si analizza lo stato, con la struttura geometrica
piatta che si ha infinitamente lontano dal buco nero, dove lo spazio �
piatto. In altre parole, gli stati ad una particella, quando valutati
"molto lontano dal buco nero", tendono ad avere propriet� simili a
quelle degli stati ad una particella Minkowskiana. Spero di averti
scritto qualcosa di comprensibile.

Ciao, Valter
Received on Tue Oct 23 2007 - 13:53:19 CEST