Continuo dal post precedente (30/8, 17:04).
Passiamo a vedere la connessione tra invarianze e costanti del moto.
Qui c'è una situazione curiosa: in m.q. a *ogni invarianza* corrisponde
una costante del moto.
In fisica classica (meccanica, elettromagnetismo) no: c'è una forte
condizione in più, che ora esaminiamo.
Possiamo distinguere le simmetrie (e le conseguenti invarianze, quando
ci sono) in due classi, che indicherò per ora con i termini "discrete"
e "continue".
Un esempio di simmetrie/invarianze discrete è quello del quadrato,
descritto in simmetria-q.pdf, §8.
Il gruppo di simmetrie rispetto al quale un quadrato è invariante
consiste di 8 elementi (identità compresa). Questo è quindi anche il
gruppo d'invarianza del quadrato.
Subito sotto faccio vedere che un rettangolo non è invariante per
l'intero gruppo, ma per sole 4 simmetrie: il gruppo d'invarianza del
rettangolo è un /sottogruppo/ di quello del quadrato.
Che siano 4 opure 8, sono sempre in numero finito.
Si potrebbe quindi credere che le simmetrie discrete siano quelle che
formano un gruppo finito, ma non è così.
Per esempio il gruppo di simmetria (invarianza) spaziale (space group)
di un cristallo perfetto infinito consiste di infiniti elementi, ma è
un gruppo discreto.
In termini molto più astratti, l'insieme Z degli interi relativi è un
gruppo rispetto all'addizione, ed è un gruppo infinito discreto.
Invece il gruppo d'invarianza per il moto di un punto materiale che
parte dalla quiete in campo grav. uniforme (rotazioni intorno alla
verticale (descritto al §9, punto 5 a pag. 10) è /continuo/: non solo
le rotazioni possibili sono infinite, ma sono parametrizzate da un
numero reale (l'angolo di rotazione).
La definizione esatta di gruppo discreto lasciamola perdere, visto che
non ci serve. Quella di gruppo continuo invece la debbo chiarire e
precisare.
L'esempio delle rotazioni appena visto può servire come punto di
partenza: gli elementi del gruppo sono parametrizzati da *una*
coordinata (un numero reale: gruppo unidimensionale).
Se prendessimo tutte le rotazioni che lasciano fisso un punto dello
spazio, troveremmo qualcosa di più ricco e complesso: le coordinate
necessarie sono 3 (per es. gli angoli di Eulero). Questo è un gruppo di
dim. 3.
In generale, quello che ho chiamato prima gruppo continuo ora lo
vediamo come un gruppo che è anche una /varietà/: ammette una
descrizione biunivoca e continua mediante un insieme di reali.
Ma non basta: per i nostri scopi occorre anche che la parametrizzazione
mediante coordinate sia /differenziabile/.
Dovrei essere ancora più preciso, ma ve lo risparmio perché possiamo
sorvolare per i nostri scopi.
Un gruppo che sia anche una varietà differenziabile si chiama /gruppo
di Lie/.
Torniamo alle costanti del moto.
Come ho già detto, in m.q. ogni invarianza dà luogo a una costante del
moto: un'osservabile che commuta con la hamiltoniana, per cui tutti i
suoi elementi di matrice, tra stati qualsiasi, non variano nel tempo.
In particolare non varia nel tempo il valor medio su qualsiasi stato.
In mecc. classica dobbiamo invece far ricorso al teorema di Noether:
In un sistema lagrangiano classico, se la lagrangiana è invariante
sotto un gruppo di simmetria che è un gruppo di Lie, allora esistono
costanti del moto indipendenti, in numero uguale alla dimensione del
gruppo.
Occorre però capire bene che cosa significa "la lagrangiana è
invariante".
Spiacente, ciò richiede un discorso spero non difficile, ma non breve.
Ricordo che la lagrangiana di un sistema è una funzione
- delle coordinate q
- delle loro derivate rispetto al tempo, q'
- eventualmente anche del tempo t.
Prima di tutto: che cosa succede della lagrangiana quando si fa una
trasf. di coordinate qualunque?
La risposta è semplice: la lagrangiana dipende dalla /configurazione/
del sistema, non dalle particolari coordinate usate per
rappresentarla; pertanto la lagrangiana è /invariante in valore/.
Mi spiego con un esempio banale.
Supponiamo di avere un solo grado di libertà, una sola cordinata q (e
la sua der. rispetto al tempo: q').
Sia
L = m*q'^2/2 + k*cos(q) (1)
(questo è un pendolo semplice, ma non importa saperlo).
Passiamo a una nuova coordinata Q = 2q (quindi Q' = 2q') ossia
q = Q/2
q' = Q'/2.
La nuova lagrangiana, chiamiamola M, si ottiene sostituendo queste
nella (1):
M = m*Q'^2/8 + k*cos(Q/2). (2)
Ma che vuol dire "la nuova lagrangiana è"?
Anche se non si è mai vista una lagrangiana, tutto ciò che occorre
sapere è che da essa si ricavano le eq. del moto del sistema, in forma
di /equazioni di Lagrange/.
Allora dire che M data dalla (2) è la nuova lagrangiana, significa che
scirvendo le eq. di Lagrange ricavate da M si ottengono nient'altro
che le vecchie eq. del moto, espresse nelle nuove cordinate.
Nel nostro caso le vecchie eq. del moto erano una sola:
m*q" + k*sin(q) = 0
che scritta nelle nuove coordinate diventa
m*Q"/2 + k*sin(Q/2) = 0. (3)
Bene: chi conosce le eq. di L. può verificare che da M si ottiene
proprio la (3).
In generale, invarianza in valore significa
L(q,q',t) = M(Q,Q',t). (4)
Questa è un'identità soddisfatta sostituendo in M al posto di Q, Q'
le loro espressioni in funzione delle vecchie coordinate.
Ma allora l'invarianza di cui si parla nelle ipotesi del teorema di
Noether che cos'è?
E' diversa: richiede che M e L siano *la stessa funzione*:
L(q,q',t) = M(q,q',t). (5)
ovvero, stante la (4):
L(q,q',t) = L(Q,Q',t)
M(q,q',t) = M(Q,Q',t).
Si vede subito che la (1) non soddisfa la (5).
Termino questa pesante lezione (ma qualcuno crede che studiare fisica
sia una passeggiata?) applicando il teorema di Noether a un caso
semplice che ci porterà al cuore fisico della questione da cui siamo
partiti.
Consideriamo un punto materiale vicnolato a muoversi su una retta e
non soggetto a forze.
Assumiamo come coordinata x un'ascissa cartesiana sulla retta.
In questo caso la lagrangiana è semplicissima: coincide con l'energia
cinetica
L = m*x'^2/2. (6)
L'eq. di L. è
m*x' = 0
(moto uniforme). Più semplice di così...
Ora consideriamo il gruppo di trasf.
X = x + a (a reale qualsiasi). (7)
Dato che X' = x', si vede che M = L (in forma):
M = m*X'^2/2 = m*x'^2/2.
Siamo quindi nelle ipotesi del t. di Noether; dato che il gruppo
d'invarianza ha dimensione 1, ci aspettiamo una costante del moto, che
è ovviamente la quantità di moto m*x'.
Qui l'applicazione del t. di N. è stata semplice: visto che L non
dipende da x, è ovvio che c'è invarianza per le traslazioni (6).
Però io nell'enunciare il teorema avevo solo detto che esistono
costanti del moto, senza dire quali sono.
Ora lo dico (ma non lo dimostro) per questo caso particoare, in cui L
non dipende da una delle coordinate: la costante del moto è _at_L/_at_x'.
Verificate facilmente che per la lagrangiana (6) è proprio
_at_L/_at_x' = m*x'.
Dunque: se la lagrangiana è invariante per traslazioni in una
coordinata spaziale, la corrisp. componente della q. di moto si
conserva.
E qui ci fermiamo per oggi :-)
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Elio Fabri
Received on Sat Sep 01 2018 - 17:15:53 CEST