Vediamo se riesco a dare una soluzione suff. rigorosa.
Per cominciare, ripeto il problema.
Abbiamo un guscio sferico, conduttore ma scarico: raggio interno Ri,
raggio esterno Re.
Internamente a questo e' presente uan carica puntiforma q, a distanza
a<Ri dal centro.
Determinare la carica indotta sulla superficie interna del guscio (e
anche su quella esterna, tanto che ci siamo ;-) )
1. Dato che lo spazio tra le due sfere di raggi Ri e Re e'
equipotenziale, il flusso di E attraverso una sfera di raggio
intermedio tra Ri e Re e' nullo. Questo basta per garantire che la
carica totale indotta sulla superficie interna e' -q.
2. Dato che il guscio e' neutro, la carica sulla sup. esterna e' q. La
sup. esterna e' equipotenziale, porta carica q: dunque il campo
esterno e' lo stesso di una carica q puntiforme posta nel centro
(questo era noto).
3. La carica sulla sup. esterna produce campo nullo all'interno;
quindi possiamo dimenticarla agli effetti del campo. Non pero' agli
effetti del potenziale, al quale contribuisce q/Re (unita'
elettrostatiche).
Ne segue che la carica q, piu' quella distribuita sulla sup. interna,
debbono dare campo nullo per r>Ri.
4. Per la superficie interna, consideriamo il problema con carica
immagine: carica puntiforme q a distanza a dal centro, carica
q'=-q*a/Ri, situata a distanza b=Ri^2/a dal centro.
Questa coppia di cariche produce potenziale nullo sulla sfera Ri,
quindi riproduce correttamente il campo all'interno (ma non
all'esterno).
5 Consideriamo ora due altre situazioni:
5a. Sostituiamo q' con una distribuzione sulla sfera Ri, avente
densita' sigma=-4*pi*|En|, dove En e' la componente normale di E nel
punto generico della sfera nella disposizione 4.
5b. Sostituiamo q con una distribuzione sulla sfera Ri, avente
densita' sigma=4*pi*|En|.
La somma di 5a e 5b riproduce 4.
6. E' noto che 5b e' la soluzione al problema di una carica q' in
presenza di un conduttore sferico Ri messo a terra, e che 4 e' del
tutto equivalente quanto al campo esterno.
Ne segue che 4-5b, ossia 5a, produce campo nullo all'esterno di Ri, ed
e' quindi la soluzione del problema.
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Elio Fabri
Received on Sun Jul 30 2006 - 20:14:41 CEST