Re: Utilizzo delle Equazione di Maxwell

From: bruno il pasticcere <amcova_at_gmail.com>
Date: 21 May 2006 11:03:46 -0700

Scusate se continuo a postare ma il messaggio iniziale � stato
tagliato a met� continua a non apparire la seconda parte della
discussione


Vediamo invece come la si ottiene per il potenziale vettore A:

rot(A)=B

rot(rot(A))=rot(B)

 
rot(rot(A))_i=grad(div(A))_i-div(grad(A_i))=-(1/c^2)D(grad(V)_i)/Dt_i-div(grad(A_i))=(1/c^2)D[E_i+DA_i/Dt]/Dt-div(grad(A_i))=(1/c^2)DE/Dt+(1/c^2)*D^2(A_i)/Dt^2-div(grad(A_i))

rot(B)_i=mu*J_i+(1/c^2)*DE_i/Dt

(1/c^2)DE_i/Dt+(1/c^2)*D^2(A_i)/Dt^2-div(grad(A_i))=mu*J_i+(1/c^2)*DE_i/Dt

per cui eliminando a sx e a dx il termine di DE_i/Dt ottieni finalmente
l'equazione d'onda per ogni componente i del potenziale vettore A:

(1/c^2)*D^2(A_i)/Dt^2-div(grad(A_i))=mu*J_i

le sorgenti di A_i sono mu*J_i e la velocit� di propagazione dell'onda
e (1/c^2).

Ok, adesso vorrai sapere come si esprimono questi potenziali in
funzione delle sorgenti.

Prendiamo per esempio l'equazione:

(1/c^2)D^2(V)/Dt^2-div(grad(V))=rho/epsilon

La soluzione di quest'equazione � molto simile al potenziale
elettrostatico, dipende da rho e va come 1/r dove r � la distanza
dalla carica, per� c'� una differenza: il potenziale in un certo
punto a distanza r da una carica, sente la densit� di carica con un
ritardo pari a r/c, quindi sente un potenziale pari a :
(1/4piespilon)*rho(t-r/c)/r

Idem per il potenziale vettore, tratti come scalari le componenti
singole A_i di A, e queste vanno come : (mu/4pi)*J_i(t-r/c)/r

Se supponi che rho e J siano costanti nel tempo, V si riduce al
potenziale elettrostatico e A al potenziale vettore magnetostatico.

Il motivo intuitivo per cui la soluzione dell'equazione d'onda vada
come 1/r e abbia il ritardo di tempo, sta nel fatto che puoi vedere la
sorgente puntiforme dell'onda che emette onde sferiche uniformemente in
ogni direzione. La potenza � associata al quadrato della funzione
d'onda, e supponi che l'energia si conservi e quindi si distribuisca
uniformemente su sfere di raggio sempre maggiore:

V^2(t,r)*r^2=V^2(t+tau,r+c*tau)*(r+c*tau)^2

da cui:

V(t,r)*r=V(t+tau,r+c*tau)*(r+c*tau)

da cui deduci che:

V(t,r)=f(t-r/c)/r

infatti:

V(t,r)*r=f(t-r/c)

V(t+tau,r+c*tau)*(r+c*tau)=f(t+tau-r/c-c*tau/c)=f(t-r/c)
Received on Sun May 21 2006 - 20:03:46 CEST