Reali in fisica, geometrie senza punti, principi di continuita` di Brouwer

From: Giovanni Lagnese <lagnese_at_[remove>
Date: Tue, 10 Jan 2006 20:29:52 +0100

I "numeri reali della fisica", ossia quelli "con l'errore", non sono numeri
reali, bensi` intorni di numeri reali.
Questo fatto suggerisce di trattare la geometria della retta dei "reali
della fisica" come una geometria senza punti, in cui appunto siano dati non
i punti, bensi` un sistema di regioni. In particolare, per quanto riguarda
la topologia, se consideriamo le approssimazioni Cauchy-convergenti mediante
razionali della misura di una grandezza, che non sono altro che misure
potenzialmente sempre piu` precise, allora e` data una base di intorni.
Nelle topologie freepoint viene appunto data una base di intorni.

Ora, vorrei chiedere: i "numeri della fisica", essendo matematicamente
interessanti, e soprattutto essendo un "modello" piu` vicino a cio` che di
fatto si usa in fisica, sono stati ben trattati matematicamente? In caso di
risposta negativa, la cosa mi sembrerebbe molto ma molto strana, a meno che
non vi sia qualche modo banale di passare dai numeri reali idealizzati della
matematica classica ai "numeri della fisica" e viceversa.

Anche lasciando da parte il discorso dell'errore e quindi degli intorni, mi
sembra molto piu` "fisico" considerare i numeri reali non come numeri
decimali con infinite cifre in atto, bensi` come numeri decimali con
infinite cifre in potenza, cioe` proprio alla Brouwer. Attenzione: Brouwer,
a differenza dei costruttivisti odierni, considera i numeri reali come
successioni liberamente generate, e quindi include anche quelle non
finitamente descrivibili in partenza.
Ebbene, pensando in questo modo i numeri reali, e` evidente che le funzioni
sono tutte continue: cosi` in base ai principi di continuita` di Brouwer,
cosi` di fatto anche in fisica.
Infatti, e` chiaro che in fisica una funzione, per essere utilizzabile, non
puo` farci aspettare infinite cifre di un numero reale prima di darci una
nuova cifra dell'immagine, ma deve mandare ogni approssimazione della misura
di una grandezza in una approssimazione dell'immagine, e quindi, lo si vede
facilmente, deve essere continua.
Il fatto "fisico" e` che nella matematica classica il valore dell'immagine
di un numero reale, mediante una funzione f, puo` dipendere drastricamente
dal fatto che, ad esempio, il numero sia 1.0000002eccetera anziche'
1.0000001eccetera; invece nella fisica del continuo le cifre, quanto piu` si
va avanti, tanto meno sono importanti, cioe` tanto meno pesano nella
determinazione del valore dell'immagine.
Questo nella fisica in cui le variabili sono numeri reali.
Nella Meccanica Quantistica, in cui le variabili sono operatori, il discorso
in effetti cambia.
Ma, per quanto riguarda i numeri reali, mi sembra che l'approccio alla
Brouwer costituisca un "modello" piu` vicino a cio` che di fatto si usa in
fisica, e infatti le conseguenze, vedi ad esempio il fatto che le funzioni
sono tutte continue, sono false nella matematica classica ma sono vere in
fisica.
Insomma, l'approccio brouweriano mi sembra migliore anche per la fisica...

GL
Received on Tue Jan 10 2006 - 20:29:52 CET