"Elio Fabri" <mc8827_at_mclink.it> ha scritto nel messaggio
news:dkb4fu$2kgk$1_at_newsreader1.mclink.it...
> Sono io che debbo scusarmi, ma ho avuto una successione d'impedimenti,
> in parte previsti e in parte no (inclusa la pre-influenza: niente a che
> fare coi polli :-) ).
Ma figurati. E' gi� tanto quello che fai. Mi dispiace per la febbre, spero
stia meglio.
> Facciamo cosi': se ti restano cose che vorresti sapere,
> ricomincia da capo.
OK. Grazie ancora. Allora...
In due post ho cercato di dirti due cose e chiedertene una terza.
Le due affermazioni sono in risposta a queste tue correzioni:
1)
> > Che ci sta a fare allora du/dt?
> > Dovevi scrivere
> > \int_t1^t2 u(t) dt / (t2-t1).
> > Secondo: r(t)/dt non solo te lo boccia qualunque matematico: te lo
> > boccio pure io (e pure Leibniz :-) ).
2)
> > Perche' l'integrale di r(t) ha senso da un punto di vista matematico,
> > anche se non si vede che significato fisico possa avere. Invece la
> > scrittura r(t)/dt non sta proprio in piedi.
Ed il succo era. Mi scuso per gli errori, ma - credimi - non li ho commessi
per altre ragione che per il fatto che la nuova notazione imparata (latex)
ancora un po' mi confonde. E precisamente:
1) dovevo integrare u(t) nel tempo (e non du(t)/dt), poich� so bene, da
quando tu l'hai introdotta, che u(t) � una velocit� (scalare) e non avrebbe
senso integrare - per ottenere una distanza - du(t)/dt
2) la scrittura r(t)/dt � frutto del medesimo errore. So bene (spero :-) )
che la scrittura esatta vuole un dr(t) al numeratore. E per dimostrare che
lo so, in uno dei due post, ho "spiegato" il perch� di quella notazione,
tirando in ballo la definizione di derivata e, partendo da questa, quella di
differenziale.
La domanda, invece, riguarda la tua osservazione di seguito riportata.
> > Va tutto bene, ma tu non hai integrato r(t).
Quanto sopra lo dici in riferimento alla scrittura:
\int_t1^t2 dr(t)
Qui le cose sono diverse. Cio� non � un errore nella digitazione, ma proprio
concettuale, credo. Vediamo di venirne a capo :-)
Se scrivo:
\int_t1^t2 dt
cosa indico?
Io sono abituato a pensare l'integrale come una "somma" di prodotti. I
prodotti sono tra un valore delle ordinate ed un intervallo delle ascisse.
Ora, io so che l'intgerale di sopra mi d� t2-t1 come risultato. Perch�? Io,
finora, ho sempre ragionato cos�:
\int_t1^t2 dt [1]
significa che sto moltiplicando qualcosa per dt e sto sommando tutti i
prodotti cos� ottenuti. Io ho sempre pensato di scrivere qunato sopra come:
\int_t1^t2 k*dt = k*\int_t1^t2 dt = \int_t1^t2 dt,
con k=1, adimensionale.
Ossia pensavo di integrare la funzione y=k nel tempo, tra t1 e t2: il
risultato era k*(t2-t1) = t2-t1
Posso dire di aver integrato nel tempo il valore costante k=1,
adimensionale.
Veniamo adesso alla nostra:
\int_t1^t2 dr(t), o, se vogliamo limitarci a una grandezza scalare (per
semplicit�):
\int_t1^t2 ds(t) [2]
cosa significa(no)?
Direi che sto moltiplicando per l'unit� dei pezzetti di s (distanza) e sto
sommandoli tra loro. Cosa ottengo? Una distanza, ovviamente. Posso dire di
stare integrando la fuznione y=k, con k=1 adimensionale, tra il punto s(t1)
ed il punto s(t2). Giusto fin qui?
A me pare che tu stia dicendo che questo � sbagliato poich� per avere una
distanza dal risultato della somma tra i prodotti di qualcosa, � necessario
che questi prodotti siano tra velocit� e tempo. Insomma mi � parso di capire
che tu stia dicendo:
- se scrivi t1^t2 in uqella notazione, vuol dire che uno dei due fattori dei
"prodottini" � il tempo. Se come risultato della somma dei prodottini vuoi
una distanza, ogni prodottino dovr� essere una distanza.
- ergo, l'altro fattore � la velocit�.
A questo punto, quindi, credo di aver capito l'errorre: nella [1] la
coerenza tra dt e "t1^t2", mi permette di ragionare in termini di k=1
adimensionale, ecc ecc.
Ma nel caso della [2] non va pi� bene, perch� non integro tra s(t1) ed
s(t2), ma tra t1 e t2. Qundi devo moltiplicare per il tempo qualcosa di
"dimensionale" che mi restituisca la distanza: la velocit�.
> >Perche' l'integrale di r(t) ha senso
> >da un punto di vista matematico,
> >anche se non si vede che significato
> >fisico possa avere.
Quesrto significherebbe, alla luce di quanto sopra, che integrare r(t)
significa fare, analogamente alla [1]
\int_r1^r2 dr ( =\int_r(t1)^r(t2) dr(t) )
Mentre
\int_t1^t2 dr(t),
non � l'integrale di r(t), ma l'integrale della velocit� nel tempo.
C'ho capito qualcosa?
Grazie davvero per tutto, sto capendo moltissimo.
---------------------------------------------------------------------------
L'altro mio post, invece. era un approfondimento di questo punto. Te lo
incollo qui sotto.
> > In formule:
> > \int_t1^t2 dr(t) = r(t2) - r(t1)
> Questa e' giusta, ma non immagini quanto ci si discute sopra...
> A proposito del significato di quel dr.
Ti prego di leggere questo post dopo la mia risposta data al tuo ultimo
intervento. Colgo comunque ancora l'occasione per ringraziarti: credo ti
porti via un bel po' di tempo questa nobile attivit�. Ma ti garantisco che �
tempo ben speso :-)
Riguardo a quanto sopra ed a quanto scritto nel mio post (a cui accennavo
qui sopra), credo di aver capito .....forse....quale problema possa
nascondere quel dr(t).
Pensavo al seguente ragionamento (da un punto di vista matematico, non
fisico):
1) \int_t1^t2 dt
significa una cosa be precisa: possiamo chiamarlo l'integrale dell'unit�
adimensionale "1" tra t1 e t2. Di fatto � uguale al prodotto di
(t2-t1)*1[''], sia in valore (t2-t1) che in dimensioni (secondi).
2) \int r(t1)^r(t2) dr(t) = \int_r1^r2 dr
significa quanto sopra, tal quale, con la sola differenza che al posto di t
ci metto r(t)
3) 1) e 2) non credo abiano alcun significato fisico se non quello di
esprimere come integrale quello che pu� essere facilmente scritto
altrimenti.
Penso ad esempio a:
\int_t1^t2 f(t)dt,
con f(t)=k, da cui:
\int_t1^t2 f(t)dt = k*\int_t1^t2 dt
in cui appare quell'integrale solo perch� trascino fuori una costante.
4) \int_t1^t2 ds(t)
con s(t) la distanza scalare del punto materiale, lungo la traiettoria,
dall'origine dell'ascissa curvilinea.
Questo � diverso da sopra. E questo era il mio errore (questa volta
concettuale e non "di battitura").
Chissa perch� pensavo questa relazione come equivalente a quelle di sopra.
In realt� cos� non �, poich� devo tener conto del fatto che in questa non
integro tra s1 ed s2, ma tra t1 e t2. Quindi, mi domando, che razza di senso
ha quest'ultima?
L'unico che trovo � il seguente: forse significa che a ds (o, ci� che � lo
stesso, a ds(t)) devo sostituire una qualche relazione che preveda il
prodotto tra qualcosa e dt.
Ecco perch� insisti, credo, a dirmi: guarda che non integri r(t) lungo t, ma
dr(t)/dt.
Insomma potrebbe essere questo il mio errore?
Quel ds(t) o ds o dr o dr(t) (a seconda dei gusti e di quale grandezza
vogliamo integrare nel tempo) rappresenta quindi IMHO una espressione a cui
sostituire una pi� idonea. Mi spiego.
Sia:
ds = vi*dt, con vi = velocit� istantanea,
� ovvio che l'integrale del secondo membro
\int_t1^t2 vi dt (= \int_t1^t2 [ds/dt] dt)
debba essere uguale anche a:
\int_t1^t2 ds [1]
Solo che confondevo questa qui sopra, con la seguente:
\int_s1^s2 ds [2],
definita come sopra [''] e che ottengo integrando il primo membro. E che,
inoltre, � sicuramente uguale alla precedente [1], nel senso che se sono
vere le due seguenti relazioni:
\int_s1^s2 ds = \int_t1^t2 [ds/dt] dt
e:
\int_t1^t2 [ds/dt] dt = \int_t1^t2 ds,
� necessariamente vera anche questa:
\int_s1^s2 ds = \int_t1^t2 ds
E' solo che per me la [2] ha anche un senso matematico pi� evidente che non
la [1]. Ed il senso � quello che ho scritto qui sopra ['']. L'altra [1],
invece, la vedo pi� come una "conseguenza" algebrica.
Grazie e ciao.
Alex_j
Received on Thu Nov 03 2005 - 09:59:27 CET
This archive was generated by hypermail 2.3.0
: Fri Nov 08 2024 - 05:10:17 CET