Il 22 Lug 2004, 22:43, epsiromenos_at_yahoo.it (gianfrancois) ha scritto:
> KCa ha scritto:
> >Anche quando si considera un fotone mediatore, si dimostra che la
componente
> > longitudinale d� contributo nullo e sopravvivono solo i pezzi generati
dai
> > fotoni trasversi.
> sei sicuro? Io ricordo di aver letto da qualche parte che nel propagatore
> fotonico, oltre al contributo "trasverso", c'� anche un contributo
> cosiddetto coulombiano, che dipende da una delta(t-t')... e che da
> problemi perch� sembra violare il principio della velocit� limite... il
> contributo che si annulla nel propagatore fotonico � un termine,
> cosiddetto residuo, proporzionale a K(mu)K(nu)...
> Qui lo dico e qui lo nego! Potrei sbagliarmi. Quindi mi esprimo con
> riserva. Mi andr� a documentare :-)
Anche a me risulta qualcosa di simile.
Questo � un problema prettamente quantistico. Non si presenta in
ambito classico, o meglio assume un'altra forma che si presenta
quando cerchi di trattare distribuzioni puntiformi di carica.
A livello classico per un sistema di cariche distribuite, ovvero assegnata
una densit� spaziale di carica in movimento � semplice imporre la gauge di
Lorentz al sistema per il fatto che le correnti associate a particelle che
hanno una massa hanno una trasformata di Fourier che ha nel caso peggiore
singolarit� integrabili sul cono luce.
La condizione di regolarit� della distribuzione A^mu(k) = j^mu(k)/k^2
discende dalle condizioni di regolarit� per la trasformata di j^mu sulla
shell ottica (sarebbe a dire sul "guscio" dello spazio degli impulsi che
verifica la condizione k^2=0, ovvero sul cono luce nello spazio reciproco
parlando in italiano) Con questa scelta di A^mu(k) siamo gi� in gauge
di Lorentz. Perch�? Perch� vale l'equazione di continuit� ovvero perch�
quadridiv(j)=0 e dunque k_mu j^mu = 0 in tutto lo spazio reciproco quindi
l'andamento asintotico a zero in corrispondenza del cono luce � pi� veloce
di k^2 (in particolare 0/k^2 -> 0 quando k^2 tende a zero). Questa
condizione
di regolarit� si verifica ovunque sulla shell. Vediamo di arrivarci per
gradi:
Se anzich� consideri la trasformata di Fourier di una
una distribuzione liscia stazionaria guadagni una delta(om) e dunque
la difficolt� si pone per k^ -> 0 dove trovi che la componente di Fourier
del campo � pari alla quantit� complessiva di carica per la distribuzione.
Dunque il problema si pone
quando hai un eccesso di carica. Il problema che si pone � tuttavia
alleviato dalla circostanza che il volume di raggio k scala come (k^)^3
mentre la divergenza nel potenziale scala come delta(om)/[(k^)2-(om)^2]
Dunque se la densit� non � concentrata la soluzione � univocamente
determinata a meno di una soluzione di shell aggiuntiva.
Nota che tutto questo problema non lo avremmo dovuto discutere
se la distribuzione fosse stata globlalmente neutra, perch� allora
avremmo avuto che la componente per k -> 0 si sarebbe annullata.
Cambiando riferimento non puoi trovare singolarit� che non c'erano.
Una generica distribuzione pu� essere pensata come sovrapposizione di
distribuzioni non concentrate in movimento e ciascuna non pu� comportare
singolarit� nemmeno
Passiamo velocemente in rassegna il caso a carica concentrata:
considerando una carica concentrata ovvero rho(r,t)=delta[r-r(t)]
puoi calcolare per esercizio la trasformata di Fourier nella base
exp[i(k^*r-om*t)] che risulta da Int exp(ik^*r(t))exp^(-iom*t) dt
nel caso r(t) = 0 trovi rho(k) = delta(om) mentre per la corrente trovi
j^i(k)=0. Cio� descrivere una carica concentrata richiede componenti
on shell non nulle nell'origine delle coordinate reciproche.
E questa singolarit� non � eliminabile infatti per k = 0 hai
densit� divergente.
Se r(t) � assegnata e cerchi di scrivere le forze necessarie
per gestire questo moto scopri dei problemi di indeterminazione perch� le
densit� di energia e di impulso associate al campo sono divergenti. Se poi
anzich� fissare r(t) vuoi determinarne il moto trovi che le equazioni
del moto dipendono da tutte le derivate e se per caso ti accontenti
di fermare la determinazione di queste forze all'ordine pi� basso
di sviluppo trovi che la forza dipende dalla derivata terza e ti
porta infinite soluzioni a parit� di punto e velocit� di partenza.
Comunque questa impostazione del problema non � una dimostrazione
di alcunch� di paradossale, Abraham e Lorentz vi giunsero seguendo
da una impostazione euristica che li condusse ad un paradosso noto
al loro tempok, paradosso che era stato rivelato da Poincar� nella
meccanica celeste, ovvero � paradossale applicare uno schema perturbativo
ad una situazione in cui la serie perturbativa diverge. Questo non
dimostra che il problema non ha soluzione, dimostra solo che la soluzione
dipende in modo non analitico da tutti i gradi di libert� del sistema e
che una dinamica locale non pu� essere estrapolata a tutti i tempi senza
conoscere la struttura globale del problema. Tuttavia una soluzione pu�
essere costruita partendo da ipotesi di regolarit� che approssimano in
qualche modo la conoscenza del problema nella immediata prossimit� temporale
e spaziale. E' questa la via seguita ad esempio nel trovare la soluzione di
Lienard e Wiechart per il caso continuo, e che non pu� essere applicata al
caso
puntuale senza una scelta precisa di regolarizzazione: cio� di
approssimazione
della carica puntiforme da una densit� continua.
La controparte lagrangiana � che si verifica una difficolt� se vai a
considerare la lagrangiana del moto di una particella perch� il termine
p^mu A_mu della lagrangiana Int[(p - A)^2-A^2]d_tau � somma di quantit�
divergenti
(dove tau � il tempo proprio) inoltre l'energia a cui la particella pu�
attingere
se consideri il problema dell'accoppiamento minimale j^mu A_mu + 1/4 F^mu,nu
F_mu,nu
� infinita. Questa difficolt� � pi� seria in quanto coinvolge un punto
chiave della procedura di quantizzazione e lascia infatti traccia di se
nonostante gli sforzi di Dirac che fu condotto da questa difficolt� alla
necessit� di studiare il problema in chiave globale, studi� per ci� il
problema
in relativit� generale e non giunse tuttavia a conclusioni inequivoche,
essenzialmente
si convinse di non avere in mano i dati giusti per azzardare una teoria.
La conclusione sembrerebbe che una teoria locale � afflitta da arbitrariet�.
Non dimeno Dirac ci ha lasciato una teoria parziale e locale capace di
valutare
correttamente il fattore giromagnetico dell'elettrone oltre la settima cifra
significativa. La quantizzazione � costruita infatti a partire dall'idea che
esista
un operatore posizione, e con la sostituzione delle parentesi di Poisson con
delle
regole di commutazione fra posizione ed impulso. Dirac impazzi' per qualche
tempo
nel tentativo di trovare una corrente lineare negli operatori di campo che
sortivano
dalla quantizzazione del campo fermionico ed alla fine si convinse che la
strada
corretta per definere la densit� di corrente quantistica dovesse essere il
famoso
operatore psi* gamma psi. Che coinvolge simmetricamente gli operatori a
frequenza
positiva e gli operatori a frequenza negativa. Questo costerebbe,
coerentemente
parlando, una rinuncia alla presunzione di localizzare esattamente un
elettrone
con la luce, perch� l'accoppiamento costruito implica ampiezze non nulle di
creare
infiniti elettroni e positroni con un campo esattamente localizzato. Per� la
quantizzazione di Heisenberg ebbe troppo successo perch� Dirac o chicchessia
si sentissero incoraggiati a cambiare il principio di partenza e lo schema
ad
operatori posizione impulso. In altre parole quando si scende a scala di
precisione
spinta e si sale ad energie elevate la corrente fermionica, non �
necessariamente
conservata, Dirac infine aiutato dai lavori di Heisenberg, Born e Pauli si
convinse
di ci�. Questo non si verifica classicamente.
E siccome non � pi� vero che k^mu <j_mu> = 0 allora non possiamo nemmeno
conservare la definizione classica di campo in gauge lorentziana:
A^mu = j^mu/k^2. E non � nemmeno vero che lontano dalle sorgenti il
campo deve rimanere approssimativamente trasversale perch� in un
campo intenso ogni punto � canditato per la creazione di una coppia
elettrone positrone che altera la condizione di trasversalit�.
Da quel che mi � stato spiegato nel mio corso di fisica teorica so che Fermi
studio' la questione interpretativa proponendo una soluzione. La sua
idea fu la seguente: se noi vogliamo descrivere coerentemente l'interazione
di
un sistema assegnato di cariche e facciamo l'ipotesi che vogliamo misurare
delle grandezze fisiche come il campo o l'interazione fra elettroni,
ovvero siamo in una zona fisicamente misurabile dove il campo non cambia
le carte in tavola ma si limita ad interagire
pacificamente con fermioni gi� esistenti, possiamo imporre nuovamente la
gauge di lorentz. E dire che sono stati fisici quegli stati che
conservano le correnti. Questo comporta delle regole di selezione sugli
stati che discendono dalla causalit� e dalla conservazione delle correnti
misurate. Dunque l'idea sarebbe: pu� anche essere che il campo non �
trasversale,
allora � bene lavorare in uno spazio di Hilbert che non � trasversale, tanto
pi�
che non avremmo alcuna idea di come scrivere uno spazio di Hilbert
trasversale
in modo covariante. Ma nel riferimento di quiete degli oggetti che misurano
un
campo elettrico ce ne infischiamo della parte longitudinale quindi conta
solo
una sezione di questo spazio.
Feynmann procede in altro modo. Dice essenzialmente: perch� mi devo bendare
gli
occhi e nascondere il fatto che esiste una componente non gaussiana del
campo?
Ovvero dice: se non posso pi� garantire che A^mu � lorentiana non lo
garantisco
affatto e scrivo le equazioni come [quadratello di]A^mu = j^mu + d(mu)
quadridiv A
Io ce la metto dentro arbitrariamente, la quadridivergenza nella
lagrangiana, perch�
qualcosa dovr� pur valere se non posso pi� dire che in generale vale zero,
e mi calcolo il propagatore del campo come si deve con tutto il termine di
quadridiv(A). Ma poi che succede? Che se io non faccio il bischero
e vado a calcolarmi correttamente le ampiezze di scattering fra elettroni
con il
mio campo scritto per bene le cariche non se ne accorgono mica che c'� il
termine
non gaussiano. Infatti fa il conto e mostra che le ampiezze di scattering
non dipendono
dal termine di quadridivergenza. Per garantire questo usa come mattoncini le
soluzioni regolarizzate 1/(k^2-ieps) che aveva usato nel caso dei campi
scalari, accoppiate
con le correnti fermioniche. Se uno cambia questa regolarizzazione le cose
possono andare diversamente.
Me ne accorgo gi� al secondo ordine perch� compaiono campi spuri che prima
non c'erano,
ma se vado a guardare gli ordini successivi e studio l'auto-campo di un
elettrone,
ad esempio, emergono situazioni ancora pi� strane. Questo succede
perch� i termini di correzione virtuale ultravioletti coinvolgono
pesantemente il comportamento
on-shell e devo fare una scelta di regolarizzazione simmetrica fra frequenze
positive e
frequenze negative se non voglio trovarmi con ampiezze di coppia virtuale
sbagliate.
La teoria delle distribuzioni mi garantisce infatti che il limite per
epsilon che tende a zero di F = 1/(k^2 + ieps) � soluzione di k^2 F = 1. Ed
analogamente
per una scelta arbitraria di limite debole per k^2 ho soluzioni di k^2 F =
1. La differenza
fra due soluzioni sar� una soluzione di k^2 Diff = 0. Diff � essenzialmente
una soluzione
per l'equazione senza sorgenti. Queste Diff si chiamano soluzioni on-shell.
Ora che cosa garantisce che la teoria corretta sia questa con il propagatore
costruito
da Feynmann e non un'altra qualsiasi con un Diff aggiuntivo di un'altra
forma?
Essenzialmente nulla di pi� del principio di corrispondenza. Ovvero se vado
a calcolare da
queste ampiezze di scattering la matrice densit� per il campo
elettromagnetico questa
matrice di densit� deve riportare alle previsioni dell'elettromagnetismo
classico
e quindi ai potenziali di Lienard-Wiechert, ed in effetti questo � quello
che si
verifica. Aggiungere una Diff ad F otterrei in generale a campi classici
non causali.
> > Quindi le due formulazioni dell'elettrodinamica quantistica sono
> > equivalenti.
>
> > Ciao Mario.
>
>
>
>
> CIAO :-)
>
> --
>
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Received on Fri Jul 23 2004 - 18:29:01 CEST