Re: Algebre di Lie

From: Archeoloco <archeo_at_yahoo.it>
Date: Wed, 07 Apr 2004 13:35:01 GMT

Il 07 Apr 2004, 12:03, Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com> ha scritto:

> Non riesco ad immaginare come (come spazio topologico puoi
> sempre farlo, per esempio usando la procedura di Alexandrov, ma
> come la mettiamo per le operazioni di gruppo?)

Illustro l'idea nel caso di Z. Considero una estensione
non standard di Z aggiungendo l'elemento 1^(alfa).
alfa � l'infinito. Identifico 1^alfa con il suo
inverso. 1^(alfa)=1^(-alfa) come si fa in geometria
proiettiva. 1^(2*alfa)=1. 1^(2*alfa-1)=0 1^(2alfa-2)=-1
etc. [qui la moltiplicazione del gruppo � l'addizione
aritmetica] il gruppo Z* � ciclico. Il problema �
la compattezza. Infatti risulta che con la topologia di
R* le sequenze 1^i ed 1^(i+1) convergono indifferentemente
ad 1^alfa come ad 1^alfa+1 etc.. L'idea sarebbe considerare
tutti questi come un sottogruppo laterale e di introdurre una
gerarchia di topologie. I punti sarebbero un sol punto
rispetto alla topologia debole ma sarebbero distinti rispetto
alla topologia propria del gruppo. In linea di principio
potremmo scegliere di accanirci e considerare 1^(2alfa)
come un altra classe laterale distinta da 1^alfa e da
Z mentre scegliamo di considerarla isomorfa a Z.

In altre parole [1^alfa] ha una struttura interna che �
invisibile o irraggiungibile da Z in quanto Z ha
vista debole rispetto alla struttura interna di [1^alfa]

A questo punto sta al nostro gusto scegliere di porre
1^2alfa=1 oppure un altro elemento di Z.

Se come credo la topologia debole � la chiave della
dimostrazione di Moskowitz e Sackstaeder allora
la compattezza debole e l'introduzione di una
adeguata aritmetica per le classi laterali deboli
permette la seguente riformulazione del teorema:
ogni gruppo di lie debolmente compatto � debolmente
esponenziale. Dove con debolmente esponenziale intendo
che ogni elemento del gruppo � dato da un esponenziale
i cui esponenti sono estesi in senso non standard.

Nel caso di SL(2,C), ad esempio, osserviamo che la
mappa esponenziale copre un sottoinsieme di SL(2,C)
il modo pi� naturale di costruire l'estensione non
standard passa per le superfici di Riemann della funzione
ln. Se infatti risolviamo l'equazione cosh(z)=-1 troviamo
che |z| non � limitato superiormente. mentre senh(z) �
sempre uguale. (senh(z) � una funzione periodica con lo
stesso periodo di cosh(z)). Dunque il punto -I �
raggiungibile in senso debole.


ad
> > esempio come si risolve un problema
> > di elettrostatica con contorno assegnato nello spazio?
> > Senza avere qualche gruppo di invarianza dell'armonicit�
> > come quello delle trasformazioni conformi non si pu� ridurre
> > questo problema ad una classe di problemi equivalenti come
> > si fa nel piano.


> > Qualcuno sa aiutarmi a districarmi dalla confusione?
>
> Cercherei di farlo se avessi tempo e se avessi capito: non ho capito quasi
niente di quello che hai scritto!

Lascia da parte tutto il resto per un attimo e se puoi
cerca di aiutarmi a focalizzare il problema dell'elettrostatica
in tre dimensioni. Il tema �: sul piano esistono funzioni
che possono essere completate ad una funzione analitica
su un sottospazio del piano. Le trasformazioni conformi del
piano applicano funzioni armoniche in funzioni armoniche.

Si pu� associare ad una funzione armonica in R^3 una o pi�
funzioni armoniche di R^3 in R ed un criterio di uniformit�
differenziale su questo insieme di funzioni in modo che trasformando R^3 in
R^3 si ottiene una trasformazione di tutte le funzioni che rappresenta
l'analogo delle trasformazioni conformi? Le trasformazioni che conservano
l'uniformit�
differenziale sono particolari trasformazioni di R^3 in
R^3 che chiamiamo elettricamente conformi.

Questo gruppo che potremmo chiamare il gruppo
dell'elettrostatica esiste? E se si � stato studiato?

Come si pu� impostare il problema?
> Ciao, Valter
>
>
> ------------------------------------------------
> Valter Moretti
> Faculty of Science
> Department of Mathematics
> University of Trento
> Italy
> http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html
>

--------------------------------
Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/
Received on Wed Apr 07 2004 - 15:35:01 CEST

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