Re: meccanica hamiltoniana: caos senza separatrici ?

From: Alan Ford <fabio.sattin_at_igi.cnr.it>
Date: Thu, 11 Feb 2021 00:41:31 -0800 (PST)

Grazie dell'interessamento.

Fornisco qualche altro dettaglio: l'hamiltoniano in questione è relativo ad una particella carica che si muove in un campo magnetico statico funzione delle coordinate (x,y).
Quindi H = px^2/2 + (py-Ay(x,y))^2/ + (pz-Az(x,y))^2/2
Uso unità in cui carica = massa = 1. Siccome H non dipende da z, pz è una costante del moto.

Il potenziale vettore (0,Ay,Az) è costruito "a ritroso" a partire da un campo magnetico B del quale ho una espressione analitica, ma molto complicata. In ogni caso il procedimento di inversione B --> A richiede la soluzione di equazioni differenziali, che è puramente numerica.









Per quanto riguarda la seconda domanda, divido la risposta in due pezzi: il campo magnetico (solo quello, senza la particella) può essere scritto in una formulazione hamiltoniana, ed è integrabile. Quindi, una particella che seguisse esattamente le linee di campo magnetico avrebbe una dinamica regolare. La domanda che mi ponevo è se la stessa cosa è vera per una particella generica (in altre parole, con un raggio di Larmor finito). Dal momento che ho una costante del moto (l'energia), per assicurarmi che il moto sia integrabile basta trovarne una seconda. Normalmente si assume che, se il raggio di Larmor della particella è piccolo rispetto alle scale spaziali caratteristiche di variazione di B, questa seconda costante del moto esista, ma sia non un invariante esatto ma solo adiabatico: il momento magnetico. Di fatto, quello che trovo integrando le equazioni del moto, è che questo invariante adiabatico non è affatto invariante, ma anzi varia in maniera notevole ed in modo irregolare. Questo, come scriv
evo--insieme agli altri test--suggerisce che il moto della particella non sia affatto regolare, ma caotico. Tuttavia, dal basso della mia scarsa conoscenza, ritenevo che questo fatto dovrebbe essere riflesso nella struttura di H: da qualche parte, nello spazio della fasi, dovrebbe esistere almeno un punto iperbolico. E invece non ne trovo alcuna traccia.

> Tra parentesi la tua frase mi riesce oscura: "costruito a partire da
> una griglia di valori ottenuti numericamente".
> Ma un'espressione analitica, per quanto complicata sia, ce l'hai?
>
> E temo che anche la domanda seguente avrà risposta negativa: il tuo
> sistema è vicino a un sistema integrabile?
> (Idea non tanto nascosta: si può applicare il teorema KAM?)
>
>
> --
> Elio Fabri
Received on Thu Feb 11 2021 - 09:41:31 CET